Bài 87 trang 100 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Lấy cạnh \(BC\) của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng \(BC\). Cho biết cạnh \(BC = a\), hãy tính diện tích hình viên phân được tạo thành.

Lời giải chi tiết

Gọi \(D,E\) lần lượt là giao của hai cạnh \(AB,AC\) với nửa đường tròn đường kính \(BC\) có tâm \(O\) là trung điểm \(BC.\)

Bán kính nửa đường tròn này là \(R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Nối \(OE;OD.\) Xét tam giác \(OBE\) có \(OE = OB = R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) và \(\widehat B = 60^\circ  \Rightarrow \Delta OBE\) là tam giác đều cạnh \(\dfrac{a}{2}\)

Tương tự ta có \(\Delta OCD\) đều cạnh \(\dfrac{a}{2}.\)  

+ Diện tích hình viên phân thứ nhất là \({S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}}\)

Diện tích hình quạt \(BOE\) có bán kính \(R = OB = \dfrac{a}{2}\) và số đo cung \(BE = \widehat {BOE} = 60^\circ \)  là \({S_{qBOE}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}}\)

Kẻ \(EH \bot OB\) tại \(H\) suy ra \(H\) là trung điểm của \(OB\) (vì tam giác \(OEB\) đều nên \(EH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến). Suy ra \(OH = \dfrac{{OB}}{2} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}.\)

Xét tam giác \(EHO\) vuông tại \(H,\) theo định lý Pytago ta có \[EH = \sqrt {E{O^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}a\]

Diện tích tam giác \(EOB\) là \({S_{\Delta BOE}} = \dfrac{1}{2}EH.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\) 

Từ đó diện tích hình viên phân thứ nhất là \({S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}\)

Tương tự ta có diện tích hình viên phân thứ hai là \({S_2} = {S_{qDOC}} - {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}.\) 

Vậy diện tích hai hình viên phhân bên ngoài tam giác là:

\(S=S_1+S_2=\dfrac{a^{2}}{24}\left ( 2\pi -3\sqrt{3} \right ).\) 

Xemloigiai.com

• Trả lời câu hỏi Bài 10 trang 97 Toán 9 Tập 2
• Bài 77 trang 98 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 78 trang 98 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 79 trang 98 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 80 trang 98 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 81 trang 99 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 82 trang 99 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 83 trang 99 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 84 trang 99 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 85 trang 100 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 86 trang 100 SGK Toán 9 tập 2
• Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Bài 10 - Chương 3 -Hình học 9
• Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 10 - Chương 3 - Hình học 9
• Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 10 - Chương 3 - Hình học 9
• Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Bài 10 - Chương 3 - Hình học 9
• Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 10 - Chương 3 - Hình học 9

• Lý thuyết diện tích hình tròn, hình quạt tròn