Bài 83 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng:

    \(d:\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = 2 - t. \hfill \cr}  \right.\)

    Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng

    \(\left( \alpha  \right):3y - z - 7 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):3x + 3y - 2z - 17 = 0.\)

    a) Chứng minh d, d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

    b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d’ và vuông góc với d . Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P).

    c) Một mặt phẳng (Q) thay đổi, luôn song song với mặt phẳng (Oxy), cắt d, d’ lần lượt tại M, M’. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MM’.

    Giải

    a) Đường thẳng d' là giao tuyến của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \) = (0 ; 3 ; -1) và \(\overrightarrow {n'} \)  = (3 ; 3 ; -2) nên d' có một vectơ chỉ phương là :

    \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {1;1;3} \right).\)

    Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \) của d là \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (2 ; 1 ; -1).

    Vì \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\) nên \(d \bot d'.\)

    Ta dễ chứng minh d và d' không có điểm chung (hệ phương trình lập ra từ phương trình hai đường thẳng này vô nghiệm). Vậy chúng chéo nhau.

    b) Ta lấy một điểm A nào đó thuộc \(d'\). Chẳng hạn cho y = 0 thì z = -7, x = 1, ta có \(A\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right) \in d'.\). Vì d\( \bot \) d' nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d sẽ đi qua \(d'\). Vậy phương trình mặt phẳng (P) là :

    \( 2(x - 1) + (y - 0) - (z + 7) = 0\)

    \( \Leftrightarrow  2x + y- z- 9 = 0.\)

    Toạ độ giao điểm H(x ; y ; z) của d và (P) thoả mãn hệ

    \(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = 2{\rm{  -  }}t \hfill \cr  2x + y - z - 9 = 0 \hfill \cr}  \right. \)

    \(\Rightarrow t = {5 \over 3} \Rightarrow H = \left( {{{13} \over 3};{2 \over 3};{1 \over 3}} \right).\)

    c) Mặt phẳng (Q) song song với mp(Oxy) nên có phương trình

                             z = m (m\( \ne \)0).

    Toạ độ giao điểm M(x ; ỵ ; z) của d và (Q) thoả mãn hệ

    \(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = 2 - t \hfill \cr  z = m \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M = \left( {5 - 2m;1 - m;m} \right).\)

    Toạ độ giao điểm \(M'\)(x ; ỵ ; z) của \(d'\) và (Q) thoả mãn hệ

    \(\left\{ \matrix{  3y - z - 7 = 0 \hfill \cr  3x + 3y - 2z - 17 = 0 \hfill \cr  z = m \hfill \cr}  \right. \)

    \(\Rightarrow M' = \left( {{{10 + m} \over 3};{{7 + m} \over 3};m} \right).\)

    Gọi I là trung điểm của \(MM'\)  thì \(I = \left( {{{25 - 5m} \over 6};{{5 - m} \over 3};m} \right).\)

    Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình tham số

    \(\left\{ \matrix{  x = {{25 -5 m} \over 6} \hfill \cr  x = {{5 - m} \over 3} \hfill \cr  z = m \hfill \cr}  \right.;\)

    bỏ đi điểm \(\left( {{{25} \over 6};{5 \over 3};0} \right)\) (ứng với m = 0).

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất