Bài 72 trang 88 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho góc nhọn \(xOy,\) điểm \(A\) nằm trong góc đó. Dựng điểm \(B\) thuộc tia \(Ox,\) điểm \(C\) thuộc tia \(Oy\) sao cho tam giác \(ABC\) có chu vi nhỏ nhất. 

Lời giải chi tiết

Cách dựng:

- Dựng điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\)

- Dựng điểm \(E\) đối xứng với \(A\) qua tia \(Oy\)

- Nối \(DE\) cắt \(Ox\) tại \(B, Oy\) tại \(C\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Vì \(\widehat {xOy} < {90^0}\) nên \(DE\) luôn cắt \(Ox\) và \(Oy\) do đó \(∆ ABC\) luôn dựng được.

Chứng minh:

Chu vi \(∆ ABC\) bằng \(AB + BC + AC\)

Vì \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\) nên \(Ox\) là đường trung trực của \(AD\)

\(⇒ AB = BD\) ( tính chất đường trung trực)

\(E\) đối xứng với \(A\) qua \(Oy\) nên \(Oy\) là đường trung trực của \(AE\)

\(⇒AC = CE\) ( tính chất đường trung trực)

Suy ra: \(AB + BC + AC \)\(= BD + BC + CE = DE \;\;(1)\)

Lấy \(B’\) bất kì trên \(Ox,\) \(C’\) bất kì trên tia \(Oy.\) Nối \(C’E,\) \(C’A,\) \(B’A,\) \(B’D.\)

Ta có: \(B’A = B’D\) ( tính chất đường trung trực)

            \(C’A = C’E\) (tính chất đường trung trực)

Chu vi \(∆ AB’C’\) bằng \(AB’ + AC’ + B’C’\)\( = B’D + B’C’ +C’E \;\;(2)\)

Vì \(DE ≤ B’D + B’C’ + C’E\) (dấu bằng sảy ra khi \(B’\) trùng \(B,\) \(C’\) trùng \(C\))

nên chu vi của \(∆ ABC ≤\) chu vị của \(∆ A’B’C’\)

Vậy \(∆ ABC\) có chu vi bé nhất.

Xemloigiai.com

• Bài 60 trang 86 SBT toán 8 tập 1
• Bài 61 trang 87 SBT toán 8 tập 1
• Bài 62 trang 87 SBT toán 8 tập 1
• Bài 63 trang 87 SBT toán 8 tập 1
• Bài 64 trang 87 SBT toán 8 tập 1
• Bài 65 trang 87 SBT toán 8 tập 1
• Bài 66 trang 87 SBT toán 8 tập 1
• Bài 67 trang 87 SBT toán 8 tập 1
• Bài 68 trang 87 SBT toán 8 tập 1
• Bài 69 trang 88 SBT toán 8 tập 1
• Bài 70 trang 88 SBT toán 8 tập 1
• Bài 71 trang 88 SBT toán 8 tập 1
• Bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 88 SBT toán 8 tập 1
• Bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 88 SBT toán 8 tập 1