Bài 7.1, 7.2, 7.3 phần bài tập bổ sung trang 60 SBT toán 9 tập 2
Bài 7.1
Giải các phương trình:
a) \(\displaystyle {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0\)
b) \(\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\)
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.
- Giải phương trình mới tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện.
- Giải phương trình ẩn \(x\) ứng với từng nghiệm trên và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right]^2} + 2.x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(\displaystyle x\left( {x - 1} \right) = t\)
Ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} + 2t - 3 = 0\) có \(\displaystyle 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \) \(\displaystyle \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3\)
Với \(t_1=1\) ta có:
\(\displaystyle x\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 1 + 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)
Với \(t_2=-3\) ta có: \(\displaystyle x\left( {x - 1} \right) = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0\)
\(\displaystyle \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.3 = 1 - 12\) \( = - 11 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm:
\(\displaystyle {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \(\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\).
Điều kiện \(\displaystyle 3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 5 - \sqrt {3 - 2x} = 3 - 2x\)
Đặt \(\displaystyle \sqrt {3 - 2x} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình:
\(\displaystyle 5 - t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} + t - 5 = 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 1 + 20 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt {21} } \over {2.1}} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt {21} } \over {2.1}} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \cr} \)
\(\displaystyle {t_2} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} < 0\) loại
\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {3 - 2x} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr
& \Rightarrow 3 - 2x = {{21 - 2\sqrt {21} + 1} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow 12 - 8x = 22 - 2\sqrt {21} \cr
& \Leftrightarrow 8x = 12 - 22 + 2\sqrt {21} \cr
& \Rightarrow x = {{2\left( {\sqrt {21} - 5} \right)} \over 8} = {{\sqrt {21} - 5} \over 4} \cr} \)
Phương trình có \(1\) nghiệm:
\(\displaystyle x = {{\sqrt {21} - 5} \over 4}\)
Bài 7.2
Cho phương trình \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\)
a) Giải phương trình khi \(m = 2\).
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
Phương pháp giải:
a) Thay \(m=2\) và giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
b) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, chứng minh phương trình này có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(m = 2\) ta có phương trình: \(x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)
Ta có: \(x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - 2 = 0\)
Đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 2 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 2} \right) = 1 + 2 = 3 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \cr
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt 3 } \over 1} = - 1 + \sqrt 3 \cr
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 } \over 1} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr} \)
\({t_2} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) < 0\) loại
\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt 3 - 1 \cr
& \Rightarrow x - 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 \cr
& \Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 3 \cr} \)
Vậy phương trình có \(1\) nghiệm \(x = 5 - 2\sqrt 3 \)
b) \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\).
Điều kiện \(x \ge 1\)
\( \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 10 = 0\)
Đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - {m^2} + 6m - 10 = 0\)
\(a = 1 > 0;c = - {m^2} + 6m - 10 = - \left( {{m^2} - 6m + 9 + 1} \right) = - \left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) nên \(c < 0 \)
\(⇒ a\) và \(c\) khác dấu, phương trình có hai nghiệm phân biệt \(t_1\) và \(t_2\) trái dấu nhau.
Giả sử \(t_1>0\) thì \(\sqrt {x - 1} = t_1\Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\ge 1\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.
Bài 7.3
(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)
Tìm giá trị của \(\displaystyle m\) để phương trình
\(\displaystyle \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\)
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình về
\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
- Nhận xét phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
- Phương trình đã cho có \(\displaystyle 3\) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm duy nhất không trùng với hai nghiệm của (1) hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là nghiệm của (1).
Lời giải chi tiết:
Phương trình:
\(\displaystyle \eqalign{
& \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(1)} \cr
{{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(2)} \cr} } \right. \cr} \)
Ta xét phương trình (1): \(\displaystyle {x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\(\displaystyle {\Delta _1}' = {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left[ { - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = {m^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\) với mọi \(\displaystyle m\)
Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta xét phương trình (2): \(\displaystyle {x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& {\Delta _2}' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left[ { - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \cr
& = 4 + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) \cr
& = 2{m^3} + 2m + 4 \cr} \)
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \(\displaystyle {\Delta _2}' \ge 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + {m^2} - {m^2} - m + 2m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2}\left( {m + 1} \right) - m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} - m + 2} \right) \ge 0 \cr} \)
Vì \(\displaystyle {m^2} - m + 2 = {m^2} - 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} \) \(\displaystyle = {\left( {m - {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\)
\(\displaystyle \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\)
Vậy với \(\displaystyle m ≥ -1\) thì phương trình (2) có nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình (2) có \(\displaystyle 1 \) nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).
Ta có: \(\displaystyle {\Delta _2}' = 0\) suy ra \(\displaystyle m = -1\) và nghiệm kép phương trình (2) là: \(\displaystyle x = 2\)
Khi đó, \(\displaystyle x = 2\) không được là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:
\(2^2 - 2m.2 - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle 4 - 4m - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Leftrightarrow 4 - 4m - 4{m^2} - 4 \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow - 4m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr} \)
loại vì \(\displaystyle m = -1\)
Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(\displaystyle x_1\) và \(\displaystyle x_2\) trong đó có \(\displaystyle 1\) nghiệm giả sử là \(\displaystyle x_1\) cũng là nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (2) có \(\displaystyle 2\) nghiệm phân biệt \(\displaystyle \Leftrightarrow {\Delta _2}' > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)
Và gọi \(x_1\) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2), ta có:
\(\displaystyle \left\{ {\matrix{
{{x_1}^2 - 2m{x_1} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr
{{x_1}^2 - 4{x_1} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr} } \right.\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2{m^3} + 2m - 4{m^2} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {{m^3} - 2{m^2} + m - 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left[ {{m^2}\left( {m - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {2 - m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {2 - m} \right)({x_1} -\left( {{m^2} + 1} \right)) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1 (m\ne 2) \cr} \)
Vì \(\displaystyle x_1\) cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay \(\displaystyle {x_1} = {m^2} + 1\) vào phương trình (1) ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{m^2} + 1 - 2m - 4} \right] = 0 \cr} \)
(vì \(\displaystyle {m^2} + 1 > 0\) )
\(\displaystyle \eqalign{
& \Leftrightarrow {m^2} + 1 - 2m - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m = 3} \cr
{m = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vì \(\displaystyle m > -1\) nên \(\displaystyle m = -1\) loại
Vậy \(\displaystyle m = 3 \) (thỏa mãn).
Thay \(\displaystyle m = 3\) vào phương trình (1) và (2) ta có:
Phương trình (1): \(\displaystyle {x^2} - 6x - 40 = 0\)
Phương trình (2): \(\displaystyle {x^2} - 4x - 60 = 0\)
Giải phương trình (1):
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 6x - 40 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( { - 40} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{3 + 7} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{3 - 7} \over 1} = - 4 \cr} \)
Giải phương trình (2):
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 4x - 60 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 60} \right) = 4 + 60 = 64 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8 \cr
& {x_1} = {{2 + 8} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{2 - 8} \over 1} = - 6 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có đúng \(\displaystyle 3\) nghiệm khi \(\displaystyle m = 3\)
Xemloigiai.com
- Bài 45 trang 59 SBT toán 9 tập 2
- Bài 46 trang 59 SBT toán 9 tập 2
- Bài 47 trang 59 SBT toán 9 tập 2
- Bài 48 trang 60 SBT toán 9 tập 2
- Bài 49 trang 60 SBT toán 9 tập 2
- Bài 50 trang 60 SBT toán 9 tập 2
SBT Toán lớp 9
Giải sách bài tập đại số, hình học lớp 9 tập 1, tập 2. Giải tất cả các chương và các trang trong sách bài tập đại số và hình học với lời giải chi tiết, phương pháp giải ngắn nhất
PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 1
PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 1
PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 2
- CHƯƠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
- CHƯƠNG 4: HÀM SỐ y=ax^2 (a ≠ 0) . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 2
CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
- Bài 1. Căn bậc hai
- Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
- Bài 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
- Bài 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
- Bài 5. Bảng căn bậc hai
- Bài 6. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 9. Căn bậc ba
- Ôn tập chương 1 - Căn bậc hai. Căn bậc ba
CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
- Bài 1. Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số
- Bài 2. Hàm số bậc nhất
- Bài 3. Đồ thị của hàm số y=ax+b (a≠0)
- Bài 4. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
- Bài 5. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Ôn tập chương 2 - Hàm số bậc nhất
CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
- Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Bài 3. Bảng lượng giác
- Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
- Bài 5. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Ôn tập chương 1 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông
CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN
- Bài 1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2. Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Bài 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
- Bài 5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo)
- Ôn tập chương 2 - Đường tròn
CHƯƠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
- Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Bài 5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Ôn tập chương 3 - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
CHƯƠNG 4: HÀM SỐ y=ax^2 (a ≠ 0) . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
- Bài 1. Hàm số bậc hai y=ax^2 (a ≠ 0)
- Bài 2. Đồ thị của hàm số bậc hai
- Bài 3. Phương trình bậc hai một ẩn
- Bài 4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
- Bài 5. Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Bài 7. Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Bài 8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Bài tập ôn chương 4 - Hàm số y=ax^2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn
CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
- Bài 1. Góc ở tâm. Số đo cung
- Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3. Góc nội tiếp
- Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
- Bài 6. Cung chứa góc
- Bài 7. Tứ giác nội tiếp
- Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
- Bài 9. Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
- Bài tập ôn chương 3 - Góc với đường tròn
CHƯƠNG 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
- Bài 1. Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ
- Bài 2. Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
- Bài 3. Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
- Ôn tập chương 4 - Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
Lớp 9 | Các môn học Lớp 9 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 9 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 9 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- SBT Ngữ văn lớp 9
- Đề thi vào 10 môn Văn
- Tác giả - Tác phẩm văn 9
- Văn mẫu lớp 9
- Vở bài tập Ngữ văn lớp 9
- Soạn văn 9 chi tiết
- Soạn văn 9 ngắn gọn
- Soạn văn 9 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 9
- Đề thi vào 10 môn Anh
- SGK Tiếng Anh lớp 9
- SBT Tiếng Anh lớp 9 mới
- Vở bài tập Tiếng Anh 9
- SGK Tiếng Anh lớp 9 Mới
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 9
- SBT Địa lí lớp 9
- VBT Địa lí lớp 9
- SGK Địa lí lớp 9
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 9
- SBT Lịch sử lớp 9
- VBT Lịch sử lớp 9
- SGK Lịch sử lớp 9