Bài 62* trang 166 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Vẽ các tiếp tuyến \(Ax, By\) \((Ax, By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB).\) Qua một điểm \(M\) thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt \(Ax,\) \(By\) theo thứ tự ở \(C, D.\) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC, H\) là giao điểm của \(MN\) và \(AB.\) Chứng minh rằng:

\(a)\)  \(MN ⊥ AB;\)

\(b)\) \(MN = NH.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

\(Ax ⊥ AB\)

\(By ⊥ AB\)

Suy ra: \(Ax // By\) hay \(AC // BD\)

Trong tam giác \(BND,\) ta có: \(AC // BD\)

Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BD} \over {AC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)      \((1)\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(AC = CM\) và \(BD = DM       \;\;   (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)

Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)

Suy ra: \(MN // AC\) ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: \(AC ⊥ AB\) \((\)vì \(Ax ⊥ AB)\)

Suy ra: \(MN ⊥ AB\)

\(b)\) Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(MN // AC\)

Suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{DN} \over {DA}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)     \((3)\)

Trong tam giác \(ABC,\) ta có: \(NH // AC\) ( vì \(M, N, H\) thẳng hàng)

Suy ra: \(\displaystyle{{HN} \over {AC}} = {{BN} \over {BC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)       \((4)\)

Trong tam giác \(BDN,\) ta có: \(AC // BD\)

Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BN} \over {NC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)

\(\displaystyle \Rightarrow {{ND} \over {DN + NA}} = {{BN} \over {BN + NC}}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {{ND} \over {DA}} = {{BN} \over {BC}}\)           \((5)\)

Từ \((3), (4)\) và \((5)\) suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{HN} \over {AC}} \Rightarrow MN = HN\).

Xemloigiai.com

• Bài 48 trang 164 SBT toán 9 tập 1
• Bài 49 trang 164 SBT toán 9 tập 1
• Bài 50 trang 164 SBT toán 9 tập 1
• Bài 51 trang 164 SBT toán 9 tập 1
• Bài 52 trang 165 SBT toán 9 tập 1
• Bài 53 trang 165 SBT toán 9 tập 1
• Bài 54 trang 165 SBT toán 9 tập 1
• Bài 55 trang 165 SBT toán 9 tập 1
• Bài 56 trang 165 SBT toán 9 tập 1
• Bài 57 trang 165 SBT toán 9 tập 1
• Bài 58 trang 165 SBT toán 9 tập 1
• Bài 59 trang 165 SBT toán 9 tập 1
• Bài 60 trang 166 SBT toán 9 tập 1
• Bài 61* trang 166 SBT toán 9 tập 1
• Bài 63* trang 166 SBT toán 9 tập 1
• Bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 166 SBT toán 9 tập 1
• Bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 167 SBT toán 9 tập 1
• Bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 167 SBT toán 9 tập 1