Bài 5 trang 53 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) nằm trong mặt phẳng \((α)\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) không song song. Gọi \(S\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng \((α)\) và \(M\) là trung điểm đoạn \(SC\).

a) Tìm giao điểm \(N\) của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((MAB)\).

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng ba đường thẳng \(SO, AM, BN\) đồng quy.

Lời giải chi tiết

a) Trong mặt phẳng \((α)\) vì \(AB\) và \(CD\) không song song nên \(AB ∩ DC = E\)

\( \Rightarrow E ∈ DC\), mà \(DC ⊂ (SDC)\)

\( \Rightarrow E ∈ ( SDC)\).

Trong \((SDC)\) đường thẳng \(ME\) cắt \(SD\) tại \(N\)

\( \Rightarrow N ∈ ME\) mà \(ME ⊂ (MAB)\)

\( \Rightarrow N ∈ ( MAB)\). Lại có \(N ∈ SD \Rightarrow N = SD ∩ (MAB)\)

b) \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)\( \Rightarrow O\) thuộc \(AC\) và \(BD\), mà \(AC ⊂ ( SAC), BD ⊂ (SBD) \)

\( \Rightarrow O ∈( SAC), O ∈ (SBD)\)

\(\Rightarrow\)  \(O\) là một điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\)

Mặt khác \(S\) cũng là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\)

\(\Rightarrow  (SAC) ∩ (SBD) = SO\)

Trong mặt phẳng \((AEN)\) gọi \(I = AM ∩ BN \Rightarrow I \in AM; I \in BN\)

Mà \(AM ⊂ (SAC) \Rightarrow  I ∈ (SAC) \)

\(BN ⊂ ( SBD) \)\(\Rightarrow  I ∈ (SBD)\).

Như vậy \(I\) là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\) nên \(I \in SO\) là giao tuyến của \((SAC)\) và \((SBD)\).

Vậy \(S, I, O\) thẳng hàng hay \(SO, AM, BN\) đồng quy tại \(I\).

Cách khác:

b) Chứng minh \(SO, MA, BN\) đồng quy:

+ Trong mặt phẳng \((SAC) : SO\) và \(AM\) cắt nhau.

+ Trong mp \((MAB) : MA\) và \(BN\) cắt nhau

+ Trong mp \((SBD) : SO\) và \(BN\) cắt nhau.

+ Qua \(AM\) và \(BN\) xác định được duy nhất \((MAB)\), mà \(SO\) không nằm trong mặt phẳng \((MAB)\) nên \(AM; BN; SO\) không đồng phẳng.

Theo kết quả bài tập 3 ta có \(SO, MA, BN\) đồng quy.

Xemloigiai.com

• Câu hỏi 1 trang 45 SGK Hình học 11
• Câu hỏi 2 trang 47 SGK Hình học 11
• Câu hỏi 3 trang 47 SGK Hình học 11
• Câu hỏi 4 trang 48 SGK Hình học 11
• Câu hỏi 5 trang 48 SGK Hình học 11
• Câu hỏi 6 trang 52 SGK Hình học 11
• Bài 1 trang 53 SGK Hình học 11
• Bài 2 trang 53 SGK Hình học 11
• Bài 3 trang 53 SGK Hình học 11
• Bài 4 trang 53 SGK Hình học 11
• Bài 6 trang 54 SGK Hình học 11
• Bài 7 trang 54 SGK Hình học 11
• Bài 8 trang 54 SGK Hình học 11
• Bài 9 trang 54 SGK Hình học 11
• Bài 10 trang 54 SGK Hình học 11

• Khái niệm mở đầu
• Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
• Cách xác định một mặt phẳng
• Lý thuyết hình chóp và hình tứ diện