Bài 46 trang 105 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Hình thang \(ABCD \,(AB//CD)\) có \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O, AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(K\). Chứng minh rằng \(OK\) đi qua trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\).

Lời giải chi tiết

Qua \(O\) kẻ \(EF//AB\left( {E \in AD,F \in BC} \right)\) (h.54)

Trước hết hãy chứng minh rằng \(OE=OF\).

Xét \(\Delta DAC\) có \(EO//DC\) nên ta có:

\(\dfrac{{EO}}{{DC}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\) (1)

Xét \(\Delta DBC\) có \(OF//DC\) nên ta có:

\(\dfrac{{OF}}{{DC}} = \dfrac{{BO}}{{BD}}\) (2)

Vì \(AB//CD\) nên ta có:

\(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{OA}}{{AC}} = \dfrac{{OB}}{{BD}}\) (3)

Từ các đẳng thức (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{EO}}{{DC}} = \dfrac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow EO = OF\) (4)

Từ \(AB//EF\), ta có:

\(\dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{KN}}{{KO}}\) và \(\dfrac{{KN}}{{KO}} = \dfrac{{BN}}{{OF}}\) suy ra \(\dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{BN}}{{OF}}\) \( \Rightarrow AN = BN\) (vì \(EO = OF\)).

Vậy \(N\) là trung điểm của \(AB\).

Tương tự như vậy, từ \(CD//EF\), ta có:

\(\dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{KO}}{{KM}}\) và \(\dfrac{{KO}}{{KM}} = \dfrac{{OF}}{{CM}}\); suy ra \(\dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{OF}}{{CM}}\) \( \Rightarrow DM = CM\) (vì \(EO = OF\)).

Vậy \(M\) là trung điểm của \(CD\).

Xemloigiai.com

• Bài 44 trang 103 Vở bài tập toán 8 tập 2
• Bài 45 trang 104 Vở bài tập toán 8 tập 2
• Bài 47 trang 106 Vở bài tập toán 8 tập 2
• Bài 48 trang 107 Vở bài tập toán 8 tập 2
• Đề kiểm tra 45 phút chương 3 phần Hình học 8 - Đề số 1
• Đề kiểm tra 45 phút chương 3 phần Hình học 8 - Đề số 2