Bài 34 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

    Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

    LG a

    \(y = {{x - 2} \over {3x + 2}}\)

    Lời giải chi tiết:

    TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ { - {2 \over 3}} \right\}\)
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x + 2} \over {3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{1 - {2 \over x}} \over {3 + {2 \over x}}} = {1 \over 3}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {1 \over 3}\) nên đường thẳng \(y = {1 \over 3}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ + }} y =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ - }} y =  + \infty \); nên đường thẳng \(x =  - {2 \over 3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.


    LG b

    \(y = {{ - 2x - 2} \over {x + 3}}\)

    Lời giải chi tiết:

    TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 2 - {2 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} =  - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 2\) nên đường thẳng \(y =  - 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} y =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên đường thẳng \(x =  - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.


    LG c

    \(y = x + 2 - {1 \over {x - 3}}\)

    Lời giải chi tiết:

    TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}\)
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y =  + \infty \) nên đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
    Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị.


    LG d

    \(y = {{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}}\)

    Phương pháp giải:

    Đường thẳng y=ax+b (\(a\ne 0\)) là TCX của đồ thị hàm số y=f(x) khi và chỉ khi

    \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)

    hoặc \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)

    Lời giải chi tiết:

    TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên đường thẳng \(x =  - {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
    Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax + b\)

    \(\eqalign{
    & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 3x + 4} \over {x\left( {2x + 1} \right)}} = {1 \over 2} \cr 
    & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - {x \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}} - {x \over 2}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 7x + 8} \over {2\left( {2x + 1} \right)}} = - {7 \over 4} \cr} \)

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty \)

    Đường thẳng \(y = {x \over 2} - {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  + \infty \) và \(x \to  - \infty \)).
    Cách khác: 
    Ta có: \(y = {1 \over 2}.{{{x^2} - 3x + 4} \over {x + {1 \over 2}}} = {1 \over 2}\left( {x - {7 \over 2} + {{23} \over {4\left( {x + {1 \over 2}} \right)}}} \right)\)

    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {{x \over 2} - {7 \over 4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{23} \over {8\left( {x + {1 \over 2}} \right)}} = 0\) nên đường thẳng \(y = {x \over 2} - {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị.


    LG e

    \(y = {{x + 2} \over {{x^2} - 1}}\)

    Lời giải chi tiết:

    TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
    * Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0\) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
    * \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  - \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
    * \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  + \infty \) nên đường thẳng \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.


    LG f

    \(y = {x \over {{x^3} + 1}}\)

    Lời giải chi tiết:

    TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
    * Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang
    * \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.

    Xemloigiai.com

    SGK Toán 12 Nâng cao

    Giải bài tập toán lớp 12 Nâng cao như là cuốn để học tốt Toán lớp 12 Nâng cao. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12 Nâng cao, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia

    GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II. MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 12 NÂNG CAO