Bài 2.25 trang 62 SBT hình học 12

Giải bài 2.25 trang 62 sách bài tập hình học 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h...

    Đề bài

    Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h. 

    a) Một hình trụ có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó.

    b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    a) Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi Rh\).

    b) Xác định đoạn cắt và tính độ dài dựa trên các kiến thức hình học đã biết.

    Lời giải chi tiết

    a) Hình trụ nội tiếp trong lăng trụ tam giác đều có đường tròn đáy tiếp xúc tại trung điểm các cạnh của tam giác đáy. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, r là bán kính đáy của hình trụ  nội tiếp trong lăng trụ, ta có: \(\displaystyle AI = {{a\sqrt 3 } \over 2}\).

    Do đó, \(\displaystyle r = {{a\sqrt 3 } \over 6}\).

    Ta có diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp lăng trụ là:

    \(\displaystyle {S_{xq}} = 2\pi rl = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 6}.h \) \(\displaystyle = {{\sqrt 3 \pi ah} \over 3}\)

    b) Ta có mặt phẳng (AA’I) là mặt phẳng qua trục hình trụ.

    Mặt phẳng này cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật IKK’I’.

    Đoạn A’I cắt KK’ tại M nên cắt hình trụ theo đoạn IM.

    Ta có: \(\displaystyle {{KM} \over {AA'}} = {{IK} \over {IA}} = {2 \over 3}\) \(\displaystyle \Rightarrow  KM = {2 \over 3}h\)

    Xét tam giác vuông IKM ta có: \(\displaystyle I{M^2} = I{K^2} + K{M^2} \) \(\displaystyle = {{3{a^2}} \over 9} + {{4{h^2}} \over 9} = {{3{a^2} + 4{h^2}} \over 9}\)

    Vậy \(\displaystyle IM = {{\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} } \over 3}\).

    Xemloigiai.com

    SBT Toán lớp 12

    Giải sách bài tập toán hình học và giải tích lớp 12. Giải chi tiết tất cả câu hỏi trong các chương và bài chi tiết trong SBT hình học và giải tích toán 12 cơ bản với cách giải nhanh và ngắn gọn nhất

    GIẢI TÍCH SBT 12

    HÌNH HỌC SBT 12

    Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

    Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số Logarit

    Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

    Chương 4: Số phức

    Chương 1: Khối đa diện

    Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

    Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

    Ôn tập cuối năm Hình học 12