Bài 14 trang 77 SGK Toán 9 tập 1

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh...

    Đề bài

    Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn \(\alpha\) tùy ý, ta có:

    a) \(\tan \alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos \alpha};\)   \(\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\)         \(\tan \alpha . \cot \alpha =1\); 

    b) \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\) 

    Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    +) Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn:

    \(\sin \alpha =\dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ huyền};\)         \(\cos \alpha = \dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ huyền}\);

    \(\tan \alpha = \dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ kề};\)             \(\cot \alpha =\dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ đối}.\)

    +) Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), khi đó: 

                \(BC^2=AB^2+AC^2\) 

    Lời giải chi tiết

    Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), có \(\widehat{ACB}=\alpha\).

    +) \(\Delta{ABC}\), vuông tại \(A\), theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

                   \(\sin \alpha = \dfrac{AB}{BC}\),  \(\cos \alpha =\dfrac{AC}{BC}\)

                  \(\tan \alpha =\dfrac{AB}{AC}\),    \(\cot \alpha =\dfrac{AC}{AB}\).

    * Chứng minh \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).

       \(VP=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{AB}{BC} : \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{AC}= \tan \alpha =VT\)

    (Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

    * Chứng minh \( \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 

       \(VP=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{BC} : \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}. \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}=\cot \alpha=VT\)

    * Chứng minh \(\tan \alpha . \cot \alpha =1\).

    Ta có: \(VT=\tan \alpha . \cot \alpha \)

                       \(= \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AC}{AB}=1=VP\)

    b) \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), áp dụng định lí Pytago, ta được:

    \(BC^2=AC^2+AB^2\)   (1)

    Xét \(\sin ^{2} \alpha +\cos^{2}\alpha \)

    \(\;\;\;={\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2}+ {\left(\dfrac{AC}{BC} \right)^2}= \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}} = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} = 1 \) 

    Như vậy \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\) (điều phải chứng minh) 

    Nhận xét: Ba hệ thức:

    \(\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\);  \(\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) và  \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2}  \alpha =1\) là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

    SGK Toán lớp 9

    Giải bài tập toán lớp 9 như là cuốn để học tốt Toán lớp 9. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và hình học SGK Toán lớp 9 giúp luyện thi vào 10 hiệu quả. Giai toan 9 xem mục lục giai toan lop 9 sach giao khoa duoi day

    PHẦN ĐẠI SỐ - TOÁN 9 TẬP 1

    PHẦN HÌNH HỌC - TOÁN 9 TẬP 1

    PHẦN ĐẠI SỐ - TOÁN 9 TẬP 2

    PHẦN HÌNH HỌC - TOÁN 9 TẬP 2

    CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT

    CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

    CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN

    CHƯƠNG III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

    CHƯƠNG IV. HÀM SỐ y = ax^2 (a ≠ 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

    CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

    CHƯƠNG IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU

    BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM - TOÁN 9

    Xem Thêm

    Lớp 9 | Các môn học Lớp 9 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 9 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 9 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Âm Nhạc & Mỹ Thuật

    Đọc nhiều nhất