Giải bài 5 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).

    Đề bài

    Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).

    \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} > \frac{{2n}}{{n + 1}}\)

    Lời giải chi tiết

    Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp

    Với \(n = 2\) ta có \(1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > \frac{{2.2}}{{2 + 1}} = \frac{4}{3}\)

    Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)

    Giải sử bất đẳng thức đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} > \frac{{2k}}{{k + 1}}\)

    Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} > \frac{{2(k + 1)}}{{k + 2}}\)

    Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} > \frac{{2k}}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 1}} = \frac{{2k + 1}}{{k + 1}}\)

    Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được:

    \(\frac{{2k + 1}}{{k + 1}} > \frac{{2(k + 1)}}{{k + 2}}\) (*)

    Xét hiệu:

    \(\begin{array}{l}\frac{{2k + 1}}{{k + 1}} - \frac{{2(k + 1)}}{{k + 2}} = \frac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) - 2{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{{2{k^2} + 5k + 2 - \left( {2{k^2} + 4k + 2} \right)}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{k}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} > 0\end{array}\)

    Do đó (*) được chứng minh.

    Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.

    Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

    Để học tốt Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo, loạt bài giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 10.

    Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn và ứng dụng

    Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học và nhị thức Newton

    Lớp 10 | Các môn học Lớp 10 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 10 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 10 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Hoạt động trải nghiệm & Hướng nghiệp

    Đọc nhiều nhất