Giải bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Cho ba vectơ a, b, u với |a|=1, |b|=1 và a vuông góc với b. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị i=a,j=b. Chứng minh rằng: a) Vectơ u có tọa độ là (u.a; u.b) b) u= (u.a).a +(u.b).b

    Đề bài

    Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow u \) với \(|\overrightarrow a |\; = \;\,|\overrightarrow b |\; = 1\) và \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \). Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b .\) Chứng minh rằng:

    a) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

    b) \(\overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \)

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ \(\overrightarrow u \)

    +) \(\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a = |\overrightarrow u| \,.\,|\overrightarrow a|. \cos (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a) \)

    b) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ \((x\,;y)\) trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ;\;\overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u  = x\,.\,\overrightarrow i  + y.\,\overrightarrow j \)

    Lời giải chi tiết

    a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ;\;\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow u \)

    Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.

    Gọi tọa độ của \(\overrightarrow u \)là \(\left( {x;y} \right)\). Đặt \(\alpha  = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow a } \right)\).

    +) Nếu \({0^o} < \alpha  < {90^o}\): \(x = OM = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha  = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha .\;|\overrightarrow a |\; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

     

    +) Nếu \({90^o} < \alpha  < {180^o}\): \(x =  - OM = \; - |\overrightarrow u |.\cos ({180^o} - \alpha ) = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha \; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

     

    Như vậy ta luôn có: \(x = \overrightarrow u .\overrightarrow a \)

    Chứng minh tương tự, ta có: \(y = \overrightarrow u .\overrightarrow b \)

    Vậy vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

    b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

    \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow i  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \end{array}\)

    SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

    Để học tốt SGK Toán 10 - Kết nối tri thức, loạt bài giải bài tập SGK Toán 10 - Kết nối tri thức đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 10.

    Giải Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

    Giải Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức

    Chương I. Mệnh đề và tập hợp

    Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

    Chương III. Hệ thức lượng trong tam giác

    Chương IV. Vectơ

    Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

    Hoạt động thực hành trải nghiệm

    Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

    Chương VII. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

    Chương VIII. Đại số tổ hợp

    Chương IX. Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

    Lớp 10 | Các môn học Lớp 10 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 10 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 10 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Hoạt động trải nghiệm & Hướng nghiệp

    Đọc nhiều nhất