Giải bài 2 trang 70 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng

    Đề bài

    Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng

    a) \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\)

    b) \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\)

    c) \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\)

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    Bước 1: Xác định dạng phương trình của đường conic nào

              +) Có dạng \(a{x^2} + b{y^2} = 1\) là dạng đường elip

              +) Có dạng \(a{x^2} - b{y^2} = 1\) là dạng đường hypebol

              +) Có dạng \({y^2} = ax\) là dạng đường parabol

    Bước 2: Đưa về phương trình chính tắc và tìm tọa độ biết phương trình chính tắc có dạng

              +) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là đường elip

              +) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là đường hypebol

              +) \({y^2} = 2px\) là đường parabol

    Bước 3: Xác định tiêu điểm của các đường conic

              +) Elip: \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)

              +) Hypebol: \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)

              +) Parabol: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

    Lời giải chi tiết

    a) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} + b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) là phương trình của đường elip

    Từ phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} = 1\)

    Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{4} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

    Suy ra tiêu điểm của elip này là \({F_1}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\) và \({F_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\)

    b) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} - b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\) là phương trình của đường hypebol

    Từ phương trình \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

    Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = 3,b = 4 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

    Suy ra tiêu điểm của hypebol này là \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;0} \right)\)

    c) Phương trình \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\) có dạng \({y^2} = ax\) nên phương trình này là phương trình của parabol

    Ta có phương trình chính tắc là \({y^2} = 8x\)

    Từ phương trình chính tắc ta có: \(2p = 8 \Rightarrow p = 4\)

    Suy ra tiêu điểm là \(F(2;0)\)

    SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

    Để học tốt SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo, loạt bài giải bài tập SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 10.

    Giải Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

    Giải Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Chương I. Mệnh đề và tập hợp

    Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

    Chương III. Hàm số bậc hai và đồ thị

    Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác

    Chương V. Vecto

    Chương VI. Thống kê

    Hoạt động thực hành và trải nghiệm

    Chương VII. Bất phương trình bậc hai một ẩn

    Chương VIII. Đại số tổ hợp

    Chương IX. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

    Chương X. Xác suất

    Hoạt động thực hành và trải nghiệm trang 87

    Lớp 10 | Các môn học Lớp 10 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 10 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 10 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Hoạt động trải nghiệm & Hướng nghiệp

    Đọc nhiều nhất