Câu 60 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, \(\widehat A = {60^0}\), góc của đường chéo A’C và mặt phẳng đáy bằng 60⁰.

a) Tính đường cao của hình hộp đó.

b) Tìm đường vuông góc chung của A’C và BB’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy \(\widehat {A'CA} = {60^0}\).

Do ABCD là hình thoi cạnh a và \(\widehat A = {60^0}\) nên \(AC = a\sqrt 3 \).

Đường cao của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ chính là A’A. Mặt khác

\(A'A = AC\tan \widehat {A'CA} = a\sqrt 3 \tan {60^0} = 3{\rm{a}}\) .

b) Ta có BB’ // (A’AC) và \(BO \bot \left( {A'AC} \right)\) với O là tâm của hình thoi ABCD (giao điểm của hai đường chéo).

Kẻ OI // AA’ và kẻ IJ // BO thì dễ dàng chứng minh được IJ là đường vuông góc chung của BB’ và A’C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và A'C chính là BO. Mặt khác \(BO = {a \over 2}\).

Vậy \(d\left( {BB';A'C} \right) = {a \over 2}.\)

Chú ý: Có thể tìm thấy đường vuông góc chung của BB’ và A’C và IJ (I, J lần lượt là trung điểm của A’C và BB’) bằng cách xét tứ diện A’B’BC có:

\(\eqalign{  & A'B' = BC = a,  \cr  & A'B = B'C = \sqrt {{a^2} + BB{'^2}}  \cr} \)

Xemloigiai.com

• Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 57 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 58 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 59 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 61 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 62 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 63 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 64 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 65 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 66 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 67 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 68 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 69 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 70 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao