Câu 31 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng.

Khoảng cách \(h\) từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm \(t\) giây được tính theo công thức \(h = |d|\) trong đó

\(d = 5\sin6t – 4\cos6t\),

với \(d\) được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng \(d > 0\) khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, \(d < 0\) khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi :

LG a

Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(d=5\sin 6t - 4cos6t\) \( = \sqrt {41} \left( {{5 \over {\sqrt {41} }}\sin 6t - {4 \over {\sqrt {41} }}\cos 6t} \right) \) \(= \sqrt {41} \sin \left( {6t - \alpha } \right)\)

trong đó số \(α\) được chọn sao cho \(\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {41} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {4 \over {\sqrt {41} .}}\)

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được \(α ≈ 0,675\).

Vật ở vị trí cân bằng khi \(d = 0\), nghĩa là \(\sin(6t – α) = 0\)

\( \Leftrightarrow t = {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6}\) (với \(k \in\mathbb Z\))

Ta cần tìm \(k\) nguyên dương sao cho \(0 ≤ t ≤ 1\)

\(0 ≤ t ≤ 1\) \( ⇔  0 \le {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6} \le 1 \) \(\Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi }\)

Với \(α ≈ 0,675\), ta thu được \(-0,215 < k < 1,7\), nghĩa là \(k\in \{0;1\}\).

Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là :

\(t \approx {\alpha \over 6} \approx 0,11\) (giây) và \(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over 6} \approx 0,64\) (giây)

LG b

Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?

(Tính chính xác đến \({1 \over {100}}\) giây).

Lời giải chi tiết:

Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi \(|d|\) nhận giá trị lớn nhất.

Điều đó xảy ra nếu \(\sin(6t – α) = ± 1\). Ta có :

\(\sin \left( {6t - \alpha } \right) = \pm 1 \)

\(\Leftrightarrow \cos \left( {6t - \alpha } \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow t= {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6}\) 

Ta tìm k nguyên dương sao cho \(0 ≤ t ≤ 1\)

\(\eqalign{
& 0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6} \le 1 \cr 
& \Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } - {1 \over 2} \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi } - {1 \over 2} \cr} \)

Với \(α ≈ 0,675\), ta thu được \(-0,715 < k < 1,2\); nghĩa là \(k \in {\rm{\{ }}0;1\} \). Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là :

\(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} \approx 0,37\,\left( {s} \right)\) và \(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + {\pi \over 6} \approx 0,90\,\left( \text{s} \right)\)

Xemloigiai.com

• Câu 27 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 28 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 29 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 30 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 33 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 34 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 35 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 36 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 37 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 39 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 40 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Câu 42 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao