Bài 73 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác cân có cạnh bên bằng b nội tiếp trong đường tròn \((O ; R).\)

a) Tính cosin của các góc của tam giác.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

c) Với giá trị nào của \(b\) thì tam giác đó có diện tích lớn nhất ?

Giải

(h.66)

a) Giả sử tam giác đã cho là \(ABC\) có \(AB=AC=b.\)

Đặt \(\widehat B = \widehat C = \alpha \) thì \(\alpha  < {90^0}\).

Ta có  \(\sin \alpha  = \dfrac{b}{{2R}}\) nên \(\cos B = \cos C = \sqrt {1 - \dfrac{{{b^2}}}{{4{R^2}}}} \)\( = \dfrac{{\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{2R}}\).

Ta lại có

 \(\begin{array}{l}\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\\ = \dfrac{{2{b^2} - 4{b^2}{{\cos }^2}\alpha }}{{2{b^2}}}\\= 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ = 1 - 2\left( {1 - \dfrac{{{b^2}}}{{4{R^2}}}} \right) \\= \dfrac{{{b^2} - 2{R^2}}}{{2{R^2}}}.\end{array}\)

b) Diện tích tam giác là

\(S = \dfrac{1}{2}BC.AH = \dfrac{1}{2}2b\cos \alpha .b\sin \alpha \)

\(= {b^2}\cos \alpha \sin \alpha  = \dfrac{{{b^3}\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{4{R^2}}}\).

Chu vi tam giác là \(2p = 2b + 2b\dfrac{{\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{2R}}\).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{{b^2}\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{2R\left( {2R + \sqrt {4{R^2} - {b^2}} } \right)}}\).

c) Ta phải tìm \(b\) để \(y = {b^3}\sqrt {4{R^2} - {b^2}} \) đạt giá trị lớn nhất.

Viết lại  \(y = 3\sqrt 3 \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{3}.\dfrac{{{b^2}}}{3}.\dfrac{{{b^2}}}{3}\left( {4{R^2} - {b^2}} \right)} \). Khi đó coi biểu thức trong căn là tích của bốn thừa số mà tổng của chúng bằng \(4{R^2}\) không đổi nên y đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\dfrac{{{b^2}}}{3} = 4{R^2} - {b^2}\)  hay \(b = R\sqrt 3 \).

Khi đó \(\sin \alpha  = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{{2R}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}   \Rightarrow   \alpha  = {60^0}\), ta được tam giác \(ABC\) là tam gác đều.

Xemloigiai.com

• Bài 51 trang 47 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 52 trang 47 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 53 trang 47 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 54 trang 47 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 55 trang 47 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 56 trang 47 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 57 trang 47 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 58 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 59 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 60 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 61 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 62 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 63 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 64 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 65 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 66 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 67 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 68 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 69 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 70 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 71 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 72 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 74 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
• Bài 75 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao