Bài 65 trang 58 sách giải tích 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Với các giá trị nào t=của m đường thẳng y = m – x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hao điểm phân biệt? c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

    LG a

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}}\)

    Lời giải chi tiết:

    Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

    Sự biến thiên:

    \(\eqalign{
    & y'  = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^2} - 4x} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr 
    & y' = 0  \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x = 0\cr& \Leftrightarrow 2x\left( {x - 2} \right) = 0\Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = 0 \hfill \cr 
    x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

    Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty )\)

    Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;1)\) và \((1;2)\)

    Cực trị

    Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{CĐ}=1\)

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{CT}=7\)

    Giới hạn:

    \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  + \infty \)

    Tiệm cận đứng là: \(x=1\)

    \(\eqalign{
    & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2{x^2} - x + 1} \over {{x^2} - x}} = 2 \cr 
    & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - 2x) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} - 2x} \right) = 1 \cr} \)

    Tiệm cận xiên là: \(y=2x+1\)

    Bảng biến thiên:

    Đồ thị cắt \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)


    LG b

    Với các giá trị nào của m đường thẳng \(y = m – x\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?

    Lời giải chi tiết:

    Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình

    \(\eqalign{
    & {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} = m - 1\cr& \Rightarrow 2{x^2} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {m - x} \right) \cr 
    & \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 =  - {x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m\cr&  \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

    Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

    \(\begin{array}{l}
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \Delta > 0\\
    f\left( 1 \right) \ne 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {\left( {m + 2} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0\\
    {3.1^2} - \left( {m + 2} \right).1 + m + 1 \ne 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {m^2} - 8m - 8 > 0\\
    2 \ne 0\left( {\text{đúng}} \right)
    \end{array} \right.
    \end{array}\)

    \(\Leftrightarrow m < 4 - 2\sqrt 6 \,\,\text{hoặc}\,\,m > 4 + 2\sqrt {6\,\,} \,\left( 2 \right)\)


    LG c

    Gọi \(A\) và \(B\) là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi \(m\) biến thiên.

    Lời giải chi tiết:

    Hoành độ giao điểm \(A, B\) là các nghiệm của (1)

    Hoành độ trung điểm \(M\) của \(AB\) là: \({x_M} = {1 \over 2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = {{m + 2} \over 6}\)

    Vì M nằm trên đường thẳng y = m – x nên \({y_M} = m - {x_M} = m - {{m + 2} \over 6} = {{5m - 2} \over 6}\)

    Khử \(m\) từ hệ 

    \(\left\{ \matrix{
    {x_M} = {{m + 2} \over 6} \hfill \cr 
    {y_M} = {{5m - 2} \over 6} \hfill \cr} \right.\) ta có:

    \(\begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    6{x_M} = m + 2\\
    6{y_M} = 5m - 2
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m = 6{x_M} - 2\\
    6{y_M} = 5.\left( {6{x_M} - 2} \right) - 2
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m = 6{x_M} - 2\\
    6{y_M} = 30{x_M} - 12
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m = 6{x_M} - 2\\
    {y_M} = 5{x_M} - 2
    \end{array} \right.
    \end{array}\)

    Vậy \(M\) nằm trên đường thẳng \(y = 5x -2\)

    Vì \(m\) chỉ lấy giá trị thỏa mãn (2) nên: 

    \(m < 4 - 2\sqrt 6  \) \(\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2\sqrt 6  \) \( \Leftrightarrow 6{x_M} < 6 - 2\sqrt 6 \) \(\Rightarrow {x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\)

    \(m > 4 + 2\sqrt 6  \) \(\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2\sqrt 6  \) \( \Leftrightarrow 6{x_M} > 6 + 2\sqrt 6 \) \(\Rightarrow {x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\)

    Vậy tập hợp các trung điểm \(M\) của đoạn \(AB\) là phần của đường thẳng \(y = 5x -2\) với \({x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\) hoặc \({x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\)

    Xemloigiai.com

    SGK Toán 12 Nâng cao

    Giải bài tập toán lớp 12 Nâng cao như là cuốn để học tốt Toán lớp 12 Nâng cao. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12 Nâng cao, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia

    GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II. MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 12 NÂNG CAO