Bài 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 phần bài tập bổ sung trang 54, 55 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 phần bài tập bổ sung trang 54, 55 sách bài tập toán 9. Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được: a) 4.x^2 - 9 = 0

    Bài 4.1

    Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

    a) \(4{x^2} - 9 = 0\)

    b) \(5{x^2} + 20 = 0\)

    c) \(2{x^2} - 2 + \sqrt 3  = 0\)

    d) \(3{x^2} - 12 + \sqrt {145}  = 0\)

    Phương pháp giải:

    Cách 1: Chuyển các số hạng tự do sang vế phải, nhận xét vế trái và vế phải của phương trình để giải.

    Chú ý: \({A^2} = B\,\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow |A| = \sqrt B \)

    Cách 2: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

    +) Nếu \(\Delta  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    \({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

    +) Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

    +) Nếu \(\Delta  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

    Lời giải chi tiết:

    a) Cách 1:

    \(4{x^2} - 9 = 0 \) 

    \(\Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \)

    \( \displaystyle \Leftrightarrow {x^2} = {9 \over 4} \)

    \(\displaystyle\Leftrightarrow x = \pm {3 \over 2}  \)

    Phương trình có hai nghiệm là: \(\displaystyle {x_1} = {3 \over 2};{x_2} =  - {3 \over 2}\)

    Cách 2:

    \(\eqalign{
    & \Delta = {0^2} - 4.4.\left( { - 9} \right) = 144 > 0 \cr 
    & \sqrt \Delta = \sqrt {144} = 12 \cr 
    & {x_1} = {{0 + 12} \over {2.4}} = {{12} \over 8} = {3 \over 2} \cr 
    & {x_2} = {{0 - 12} \over {2.4}} = {{ - 12} \over 8} = - {3 \over 2} \cr} \)

    Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

    b) Cách 1:

    \(5{x^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} =  - 20\)

    Vế trái \(5{x^2} \ge 0\); vế phải \(-20 < 0\)

    Do đó không có giá trị nào của \(x\) để \(5{x^2} =  - 20\)

    Phương trình vô nghiệm.

    Cách 2:

    \(\Delta  = {0^2} - 4.5.20 =  - 400 < 0.\) Phương trình vô nghiệm.

    Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

    c) Cách 1:

    \(2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0 \)

    \( \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 - \sqrt 3 \)

    \(\Leftrightarrow \displaystyle{x^2} = {{2 - \sqrt 3 } \over 2} \)

    \(\displaystyle \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt {{{2 - \sqrt 3 } \over 2}} = \sqrt {{{4 - 2\sqrt 3 } \over 4}} \)

    \(\displaystyle \Leftrightarrow \left| x \right| = {{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } \over 2} \)\(\,\displaystyle= {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} } \over 2} \)

    \(\displaystyle\Leftrightarrow \left| x \right|= {{\sqrt 3 - 1} \over 2}  \)

    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x_1} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\\
    {x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}
    \end{array} \right.\)

    Phương trình có hai nghiệm là:

    \(\displaystyle {x_1} = {{\sqrt 3  - 1} \over 2};{x_2}  = {{1 - \sqrt 3 } \over 2}\)

    Cách 2:

    \( \Delta = {0^2} - 4.2\left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) \)\(\,= 16 - 8\sqrt 3 \)

    \(= 4\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) = 4{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} > 0 \)

    \( \sqrt \Delta = \sqrt {4{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) \)

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

    \( \displaystyle {x_1} = {{0 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2} \)

    \( \displaystyle {x_2} = {{0 - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}}\)\(\,\displaystyle = {{ - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over 2}\)\(\, \displaystyle = {{1 - \sqrt 3 } \over 2}  \)

    Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

    d) Cách 1:

    \(\eqalign{
    & 3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0 \cr 
    & \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 - \sqrt {145} \cr 
    & \Leftrightarrow {x^2} = {{12 - \sqrt {145} } \over 3} \cr} \)

    Vì \(12 = \sqrt {144} ;\sqrt {144}  < \sqrt {145}\)

    \( \displaystyle \Rightarrow {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\)

    Ta có vế trái \({x^2} \ge 0\), vế phải \( \displaystyle {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\)

    Phương trình vô nghiệm.

    Cách 2:

    \(\Delta  = {0^2} - 4.3\left( { - 12 + \sqrt {145} } \right) \)\(\,=  - 12\left( {\sqrt {145}  - 12} \right)\)

    Vì \(\sqrt {145}  - 12 > 0 \) \(\Rightarrow  - 12\left( {\sqrt {145}  - 12} \right) < 0\)

    \( \Rightarrow \Delta  < 0.\)

    Phương trình vô nghiệm.

    Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.


    Bài 4.2

    Giải các phương trình sau bằng hai cách (giải phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

    a) \(5{x^2} - 3x = 0\)

    b) \(3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0\)

    c) \(2{x^2} + 7x = 0\)

    d) \(2{x^2} - \sqrt 2 x = 0\)

    Phương pháp giải:

    Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:

    \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    A\left( x \right) = 0\\
    B\left( x \right) = 0
    \end{array} \right.\)

    Cách 2: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

    +) Nếu \(\Delta  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    \({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

    +) Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

    +) Nếu \(\Delta  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

    Lời giải chi tiết:

    a) Cách 1:

    \( 5{x^2} - 3x = 0 \)

    \( \Leftrightarrow x\left( {5x - 3} \right) = 0  \)

    \(⇔ x = 0\) hoặc \(5x - 3 =0\)

    \(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x = {3 \over 5}.\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle {3 \over 5}\).

    Cách 2:

    \(\eqalign{
    & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.5.0 = 9 > 0 \cr 
    & \sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3 \cr 
    & {x_1} = {{3 + 3} \over {2.5}} = {6 \over {10}} = {3 \over 5} \cr 
    & {x_2} = {{3 - 3} \over {2.5}} = {0 \over {10}} = 0 \cr} \)

    Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle {3 \over 5}\).

    Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

    b) Cách 1:

    \( 3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0 \)

    \( \Leftrightarrow 3x\left( {\sqrt 5 x + 2} \right) = 0  \)

    \(⇔ x = 0\) hoặc \(\sqrt 5 x + 2 = 0\)

    \(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x =  - {{2\sqrt 5 } \over 5}\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} =  - {{2\sqrt 5 } \over 5}\).

    Cách 2:

    \(\eqalign{
    & \Delta = {6^2} - 4.3\sqrt 5 .0 = 36 > 0 \cr 
    & \sqrt \Delta = \sqrt {36} = 6 \cr 
    & {x_1} = {{ - 6 + 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {0 \over {6\sqrt 5 }} = 0 \cr 
    & {x_2} = {{ - 6 - 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {{ - 12} \over {6\sqrt 5 }} = - {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr} \)

    Vậy phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} =  - {{2\sqrt 5 } \over 5}\).

    Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

    c) Cách 1:

    \(2{x^2} + 7x = 0 \)

    \( \Leftrightarrow x\left( {2x + 7} \right) = 0  \)

    \(⇔ x = 0\) hoặc \(2x + 7 = 0\)

    \(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x =  - {7 \over 2}\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;\displaystyle {x_2} =  - {7 \over 2}\)

    Cách 2:

    \(\eqalign{
    & \Delta = {7^2} - 4.2.0 = 49 > 0 \cr 
    & \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr 
    & {x_1} = {{ - 7 + 7} \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr 
    & {x_2} = {{ - 7 - 7} \over {2.2}} = {{ - 14} \over 4} = - {7 \over 2} \cr} \)

    Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;\displaystyle {x_2} =  - {7 \over 2}\)

    Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

    d) Cách 1:

    \( 2{x^2} - \sqrt 2 x = 0 \)

    \(\Leftrightarrow x\left( {2x - \sqrt 2 } \right) = 0 \)

    \(⇔ x = 0\) hoặc \(2x - \sqrt 2  = 0\)

    \(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm \( x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\).

    Cách 2:

    \(\eqalign{
    & \Delta = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - 4.2.0 = 2 > 0 \cr 
    & \sqrt \Delta = \sqrt 2 \cr 
    & {x_1} = {{\sqrt 2 + \sqrt 2 } \over {2.2}} = {{2\sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr 
    & {x_2} = {{\sqrt 2 - \sqrt 2 } \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr} \)

    Vậy phương trình có hai nghiệm \( x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\).

    Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.


    Bài 4.3

    Giải các phương trình:

    a) \({x^2} = 14 - 5x\)

    b) \(3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2\)

    c) \({\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 - 2x\)

    d) \(\displaystyle {{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over 5} \)\(\,\displaystyle+ {{x\left( {2x - 3} \right)} \over 2}\)

    Phương pháp giải:

    Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

    +) Nếu \(\Delta  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    \({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

    +) Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

    +) Nếu \(\Delta  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

    Lời giải chi tiết:

    a) \({x^2} = 14 - 5x \)

    \(\Leftrightarrow {x^2} + 5x - 14 = 0\)

    \( \Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 14} \right) \)\(\,= 25 + 56 = 81 > 0 \)

    \( \sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9 \)

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

    \(\displaystyle  {x_1} = {{ - 5 + 9} \over {2.1}} = {4 \over 2} = 2 \) 

    \( \displaystyle {x_2} = {{ - 5 - 9} \over {2.1}} = {{ - 14} \over 2} = - 7  \)

    b) \(3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2 = 0 \)

    \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 2 = 0\)

    \(\Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \)

    \( \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = 1 - 4 = - 3 < 0 \)

    Phương trình vô nghiệm.

    c) \( {\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 - 2x \)

    \( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 2x - 3131 = 0 \)

    \( \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3127 = 0 \)

    \( \Delta = {6^2} - 4.1.\left( { - 3127} \right) \)\(\,= 36 + 12508 = 12544 > 0 \)

    \(\sqrt \Delta = \sqrt {12544} = 112 \)

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

    \( \displaystyle {x_1} = {{ - 6 + 112} \over {2.1}} = {{106} \over 2} = 53 \)

    \( \displaystyle {x_2} = {{ - 6 - 112} \over {2.1}} = - 59 \)

    d) \(\displaystyle {{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over 5} \) \(\displaystyle + {{x\left( {2x - 3} \right)} \over 2} \)

    \(\displaystyle \Leftrightarrow 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 10 = 2{\left( {3x - 1} \right)^2} \) \(+ 5x\left( {2x - 3} \right) \)

    \(\Leftrightarrow 2{x^2} + 12x + 18 + 10 = 18{x^2} - 12x \)\(\,+ 2 + 10{x^2} - 15x \)

    \( \Leftrightarrow 26{x^2} - 39x - 26 = 0 \)

    \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \)

    \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 9 + 16\)\(\, = 25 > 0 \)

    \(\sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \)

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

    \(\displaystyle {x_1} = {{3 + 5} \over {2.2}} = {8 \over 4} = 2 \)

    \(\displaystyle {x_2} = {{3 - 5} \over {2.2}} = - {1 \over 2} \)


    Bài 4.4

    Chứng minh rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm thì phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\)\(\, + c = x\) cũng vô nghiệm.

    Phương pháp giải:

    Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

    Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\).

    Lời giải chi tiết:

    Phương trình \(a{x^2} + bx + c = x\;(a \ne 0)\) vô nghiệm.

    \( \Leftrightarrow  a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c = 0\) vô nghiệm

    \(\eqalign{
    & \Rightarrow \Delta = {\left( {b - 1} \right)^2} - 4ac < 0\cr 
    & \Leftrightarrow 4ac - {\left( {b - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)

    Đặt \(f\left( x \right) =a{x^2} + bx + c\)

    Vì \(\displaystyle{\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2}\ge0\) và \(4ac - {\left( {b - 1} \right)^2} > 0\)

    Do đó \(\displaystyle {\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \)

    \(\Rightarrow f\left( x \right) - x\) luôn cùng dấu với \(a.\)

    - Nếu \(a > 0\) thì \( f\left( x \right) - x > 0 \) \(\Rightarrow f\left( x \right) > x\) với mọi \(x.\)

    Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x\) với mọi \(x.\)

    Vậy không có giá trị nào của \(x\) để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)

    - Nếu \(a < 0\) thì \(  f\left( x \right) - x < 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < x\) với mọi \(x\)

    Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x\) với mọi \(x.\)

    Vậy không có giá trị nào của \(x\) để  \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)

    Vậy phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\)\(\, + c = x\) vô nghiệm.

    Xemloigiai.com

    SBT Toán lớp 9

    Giải sách bài tập đại số, hình học lớp 9 tập 1, tập 2. Giải tất cả các chương và các trang trong sách bài tập đại số và hình học với lời giải chi tiết, phương pháp giải ngắn nhất

    PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 1

    PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 1

    PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 2

    PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 2

    CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

    CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

    CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

    CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN

    CHƯƠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

    CHƯƠNG 4: HÀM SỐ y=ax^2 (a ≠ 0) . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

    CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

    CHƯƠNG 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU

    BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM

    Lớp 9 | Các môn học Lớp 9 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 9 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 9 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Âm Nhạc & Mỹ Thuật