Bài 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

    Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:

    LG a

    \(3^n> 3n + 1\)

    Phương pháp giải:

    Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

    Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=2\).

    Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 2\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

    Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).

    Lời giải chi tiết:

    Với \(n=2\) ta có: \(3^2 = 9 > 7 = 3.2+1\) (đúng)

    Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

    \(3^k> 3k + 1\)         (1).

    Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4\)

    Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta được:

    \(3^{k+1} > 9k + 3 \)

    \(\Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\)

    Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4 +11 > 3k + 4 = 3(k+1)+1).\)

    Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

    Vậy \(3^n> 3n + 1\)  với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).


    LG b

    \(2^{n+1} > 2n + 3\)

    Lời giải chi tiết:

    Với \(n = 2\) thì \({2^{2 + 1}} = 8 > 7 = 2.2 + 3\) (đúng)

    Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

    \(2^{k+1} > 2k + 3\)          (2)

    Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh

    \({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \)

    \(\Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)

    Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:

    \({2^{k + 2}} > 4k + 6 \)

    \(\Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\)

    Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\) nên \({2^{k + 2}}> 2k + 5\).

    Tức là bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

    Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \({2^{n+1}} > 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

    Cách khác:

    + Với \(n = 2\) thì bất đẳng thức \( \Leftrightarrow \;8 > 7\) (luôn đúng).

    + Giả sử bđt đúng khi \(n = k \ge 2\), nghĩa là \({2^{k + 1}}\; > 2k + 3.\)

    Ta chứng minh đúng với \(n=k+1\) tức là chứng minh: \({2^{k + 2}}\; > 2(k +1)+ 3.\)

    Thật vậy, ta có:

    \(\begin{array}{*{20}{l}}
    {{2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}}\; = {\rm{ }}{{2.2}^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}}\\
    { > {\rm{ }}2.\left( {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = {\rm{ }}4k + 6{\rm{ }} = 2k + 2 + 2k + 4.}\\
    { > {\rm{ }}2k + 2 + 3 = 2.\left( {k + 1} \right) + 3}
    \end{array}\)

    (Vì \(2k + 4 >3\) với mọi \(k ≥ 2\))

    \( \Rightarrow \;\left( 2 \right)\) đúng với \(n = k + 1\).

    Vậy \({2^{n{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}\; > {\rm{ }}2n + 3\;\) với mọi \(n ≥ 2\).

    Xemloigiai.com

    SGK Toán lớp 11

    Giải bài tập toán lớp 11 như là cuốn để học tốt Toán lớp 11. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích, hình học SGK Toán lớp 11, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 11 xem mục lục giai toan lop 11 sach giao khoa duoi day

    ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

    HÌNH HỌC 11

    CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    CHƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT

    CHƯƠNG III. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

    CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

    CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM

    CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

    CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

    CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

    Xem Thêm

    Lớp 11 | Các môn học Lớp 11 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 11 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 11 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm