Bài 24 trang 88 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác vuông \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \), \(AB = a (cm), AC = b (cm)\), \((a < b)\), trung tuyến \(AM,\) đường phân giác \(AD\) (\(M\) và \(D\) thuộc cạnh \(BC\)) (h.20).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(BC, BD, DC, AM \) và \(DM\) theo \(a, b.\)

b) Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết \(a = 4,15cm; b = 7,25cm.\)

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {b^2}\)

\( \Rightarrow BC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Ta có: \( \displaystyle AM = BM = {1 \over 2}BC\)  (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

\( \displaystyle \Rightarrow AM = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

Từ đó, ta có:

\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\( \Rightarrow DB = \dfrac{{AB.BC}}{{AB + AC}} = \dfrac{{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + b}}\)

Vậy \(DC = BC - DB \)\(\,=\displaystyle \sqrt {{a^2} + {b^2}}  - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}\)\(\,\displaystyle = {{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}\)

\(\eqalign{  & DM = BM - BD  \cr  &  = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}   \cr} \)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{{\left( {a + b} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 2a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2\left( {a + b} \right)}}\\
= \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {a + b - 2a} \right)}}{{2\left( {a + b} \right)}}\\
= \dfrac{{\left( {b - a} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2\left( {a + b} \right)}}
\end{array}\)

b) Với \(a = 4,15\;cm; b= 7,25 \;cm\), ta tính được:

\( BC = \sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}}\)\(\;  \approx 8,35(cm)  \)

\(\displaystyle BD = {{4,15\sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}} } \over {4,15 + 7,25}} \)\(\,\approx 3,04(cm)  \)

\(DC = \dfrac{{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + b}}\approx 5,31(cm)  ;\)

\(\displaystyle  AM = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \approx 4,18(cm) ;\)

\(\,DM= \dfrac{{\left( {b - a} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2\left( {a + b} \right)}} \approx 1,14(cm)  .\)

Xemloigiai.com

• Bài 17 trang 87 SBT toán 8 tập 2
• Bài 18 trang 87 SBT toán 8 tập 2
• Bài 19 trang 87 SBT toán 8 tập 2
• Bài 20 trang 87 SBT toán 8 tập 2
• Bài 21 trang 88 SBT toán 8 tập 2
• Bài 22 trang 88 SBT toán 8 tập 2
• Bài 23 trang 88 SBT toán 8 tập 2
• Bài 3.1 phần bài tập bổ sung trang 89 SBT toán 8 tập 2
• Bài 3.2 phần bài tập bổ sung trang 89 SBT toán 8 tập 2