Bài 21 trang 118 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz

    Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1).

    a) Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.

    b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.

    c) Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD.

    d) Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD.

    e) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

    g) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

    Giải

    a) \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1;1),\overrightarrow {AC}  = (0; - 1;2),\overrightarrow {AD}  = (0;0;1)\)

    Ta có : \(\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 1 \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Do đó bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng và

    \({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {1 \over 6}.\)

    b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(G = \left( {{2 \over 3};1;1} \right)\)

    Gọi G’ là trọng tâm của tứ diện ABCD thì \(G' = \left( {{3 \over 4};1;1} \right)\)

    c) \({S_{ABC}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \)

    \(= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  2 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {{\sqrt {14} } \over 2}\)

    \(\eqalign{  & {S_{ACD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\cr& = {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {1 \over 2}.  \cr  & {S_{ADB}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right| \cr&= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  0 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  0 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {{\sqrt 2 } \over 2}.  \cr  & {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| \cr&= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{   - 2 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{   - 2 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {{\sqrt 3 } \over 2}. \cr} \)

    d) Từ công thức tính thể tích khối tứ diện \(V = {1 \over 3}Bh\) (B là diện tích đáy,hlaf chiều cao tương ứng ) ta suy ra \(h = {{3V} \over B}.\)

    Vậy nếu gọi \({h_A},{h_B},{h_C},{h_D}\) lần lượt là chiều cao hạ từ đỉnh A, B,C, D thì ta có :

    \(\eqalign{  & {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 3 }},\cr&{h_B} = {{3V} \over {{S_{ACD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{1 \over 2}}} = 1.  \cr  & {h_C} = {{3V} \over {{S_{ABD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt 2 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 2 }},\cr&{h_D} = {{3V} \over {{S_{ABC}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt {14} } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt {14} }}. \cr} \)

    e) Vì \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1;1),\overrightarrow {CD}  = (0;1; - 1)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\), suy ra góc giữa AB  và CD bằng 900.

    g) Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Khi đó, ta có

    \( \left\{ \matrix{  I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr  I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr  I{A^2} = ID \hfill \cr}  \right.\) 

    \(  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   - 2x + 2y + 2z = 3 \hfill \cr   - 2y + 4z = 3 \hfill \cr  2z = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {3 \over 2} \hfill \cr  y =  - {1 \over 2} \hfill \cr  z = {1 \over 2}. \hfill \cr}  \right.  \)

    Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD là \(I\left( { - {3 \over 2}; - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) và bán kính của mặt cầu đó là

    \(R = ID = \sqrt {{{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}  = {{\sqrt {35} } \over 2}.\)

    Do đó, phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

    \({\left( {x + {3 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = {{35} \over 4}.\)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất