Câu 4.29 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm số phức z sao cho

    Tìm số phức z sao cho \(\left| z \right| = \left| {z - 2} \right|\) và một acgumen của \(z - 2\) bằng một acgumen của \(z + 2\) cộng với \({\pi  \over 2}\)

    Giải

    Cần tìm z sao cho \(\left| z \right| = \left| {z - 2} \right|\) chứng tỏ M biểu diễn z cách đều O và điểm A biểu diễn 2, tức là phần thực của z bằng 1.

    \({{z - 2} \over {z + 2}} = {{\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}} = {{z\overline  z - 4 + 2\left( {z - \overline  z} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}} = li\left( {l > 0} \right)\) khi và chỉ khi \(z\overline  z - 4 = 0\) (tức là \(\left| z \right| = 2\)) và phần ảo của z phải dương.

    Vậy điểm M biểu diễn z phải thuộc nửa đường tròn nằm phía trên trục thực, có tâm O, có bán kính bằng 2. Giao của nửa đường tròn đó với đường thẳng \(x = 1\) là điểm M biểu diễn điểm z cần tìm. Vậy số số đó là \(z = 1 + \sqrt 3 i\) (Về hình học: điều kiện một acgumen của \(z - 2\) bằng một acgumen \(z + 2\) cộng với \({\pi  \over 2}\) có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA (A’, A theo thứ tự biểu diễn -2 và 2) bằng \({\pi  \over 2}\)) (h.4.10

                                                                

    Cách 2: Nếu viết \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) thì \(\left| z \right| = \left| {z - 2} \right| \Leftrightarrow x = 1\)

    Khi đó \({{z - 2} \over {z + 2}} = {{1 + iy - 2} \over {1 + iy + 2}} = {{ - 1 + iy} \over {3 + iy}} = {{ - 3 + {y^2} + 4iy} \over {9 + {y^2}}} = li\) (l thực dương)

    \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y^2} = 3 \hfill \cr y > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow y = \sqrt 3 \)

    Vậy \(z = 1 + \sqrt 3 i\)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN