Các dạng toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Một số dạng bài thường gặp

    Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. 

    Phương pháp:

    - Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

    - Bước 2: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\), tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc không xác định.

    - Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

    + Các khoảng mà \(f'\left( x \right) > 0\) là các khoảng đồng biến của hàm số.

    + Các khoảng mà \(f'\left( x \right) < 0\) là các khoảng nghịch biến của hàm số.

    Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2{x^4} + 1$.

    Ta có $y' = 8{x^3},y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$

    \(y' < 0 \Leftrightarrow x < 0\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

    Một số trường hợp đặc biệt:

    Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

    Phương pháp:

    - Bước 1: Tính $f'\left( x \right)$.

    - Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

    + Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$$y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

    + Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R$$y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

    - Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

    Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 2017\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). 

    Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' = {x^2} - 2(m + 1)x - (2m + 3) \ge 0\) \({\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)

    \( \Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} + (2m + 3) \le 0 \) \(\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m =  - 2\)

    Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$. Khi đó:

    $\begin{gathered}f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a > 0 \hfill \\\Delta  \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a < 0 \hfill \\\Delta  \leqslant 0 \hfill \\\end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered} $

    Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

    Phương pháp:

    - Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

    + Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0, \forall x \in D$.

    + Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0, \forall x \in D$.

    - Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

    Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

    - Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$.

    - Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left( x \right)$ trên $D$.

    - Kết luận: $\begin{gathered}m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} $

    - Bước 3: Kết luận.

    Dạng 4: Tìm m để hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)

    - Bước 1: Tính \(y'\).

    - Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

    + Hàm số đồng biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)

    + Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)

    - Bước 3: Kết luận.

    SGK Toán lớp 12

    Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day

    GIẢI TÍCH 12

    HÌNH HỌC 12

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN

    CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Xem Thêm