Bài 25 trang 169 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \({V_1},{V_2},{V_3}\) theo thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác \(ABC\) một vòng xung quanh các cạnh \(BC, AB\) và \(AC.\) Chứng minh rằng:

\(\displaystyle {1 \over {V_1^2}} = {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}}.\)

Lời giải chi tiết

\(∆ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \), đặt \(AB = c, AC = b, BC = a, AH = h\); \(AH\) là đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) đến cạnh huyền \(BC\).

Ta có: \(\displaystyle h = {{bc} \over a}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

- Khi quay tam giác vuông \(ABC\) quanh cạnh huyền \(BC\) một vòng thì cạnh \(AB\) và \(AC\) vạch nên hai hình nón có chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao \(AH\) và tổng chiều cao \(2\) hình nón bằng cạnh huyền \(BC.\) Như vậy, thể tích hình sinh ra là:

\(\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}\pi .A{H^2}. HB + {1 \over 3}\pi .A{H^2}.HC\)

\( \displaystyle = {1 \over 3}A{H^2}.(HB+HC) \)

\( \displaystyle = {1 \over 3}A{H^2}.BC \)

\(\displaystyle = {1 \over 3}\pi {\left( {{{bc} \over a}} \right)^2}.a = {{\pi {b^2}{c^2}} \over {3a}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{V_1^2}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\pi {b^2}{c^2}}}{{3a}}} \right)}^2}}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\)           (1)

- Khi quay \(∆ABC\) quanh cạnh \(AB\) một vòng ta thu được hình nón có chiều cao \(AB = c\), bán kính đáy \(AC = b\) và thể tích hình sinh ra là:

\(\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}\pi .A{C^2}.AB = {1 \over 3}\pi {b^2}c\)

\(\displaystyle \Rightarrow {1 \over {V_2^2}} = {1 \over {\left( \displaystyle {{{\pi {b^2}c} \over 3}} \right)^2}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^4}{c^2}}}\)

- Khi quay \(∆ABC\) quanh cạnh \(AC\) một vòng ta thu được hình nón có chiều cao \(AC = b\), bán kính đáy \(AB = c\) và thể tích hình sinh ra là:

\(\displaystyle {V_3} = {1 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{B}}^2}.AC = {1 \over 3}\pi {c^2}b\)

\(\displaystyle \Rightarrow  {1 \over {V_3^2}} = {1 \over {\left(\displaystyle  {{{\pi b{c^2}} \over 3}} \right)^2}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^2}{c^4}}}\)

Ta có:

\(\displaystyle {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^4}{c^2}}} + {9 \over {{\pi ^2}{b^2}{c^4}}} \)\(\,\displaystyle = {{9({b^2} + {c^2})} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\)

Áp dụng định lí Pytago vào \(∆ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\({b^2} + {c^2} = {a^2} \)

\(\displaystyle \Rightarrow {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}}  = {{9({b^2} + {c^2})} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\)\(\,\displaystyle= {{9{a^2}} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle {1 \over {V_1^2}} = {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}}\).

Xemloigiai.com

• Bài 14 trang 166 SBT toán 9 tập 2
• Bài 15 trang 166 SBT toán 9 tập 2
• Bài 16 trang 167 SBT toán 9 tập 2
• Bài 17 trang 167 SBT toán 9 tập 2
• Bài 18 trang 167 SBT toán 9 tập 2
• Bài 19 trang 167 SBT toán 9 tập 2
• Bài 20 trang 168 SBT toán 9 tập 2
• Bài 21 trang 168 SBT toán 9 tập 2
• Bài 22 trang 168 SBT toán 9 tập 2
• Bài 23 trang 168 SBT toán 9 tập 2
• Bài 24 trang 169 SBT toán 9 tập 2
• Bài 26 trang 169 SBT toán 9 tập 2