Bài 22 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\), lấy điểm \(M\) (khác \(A\) và \(B\)). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại \(A\). Đường thẳng \(BM\) cắt tiếp tuyến đó tại \(C\). Chứng minh rằng ta luôn có: \(M{A^2} = MB.MC\)

Lời giải chi tiết

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AM \bot BC\)

Lại có \(AC\) là tiếp tuyến tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(M{A^2} = MB.MC\) (đpcm) 

Cách khác:

+ Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AM \bot BC \Rightarrow \widehat {CMA} = 90^\circ \).

 Lại có \(AC\) là tiếp tuyến nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ .\)

+ Ta có \(\widehat {MBA} + \widehat {MAB} = 90^\circ \) (vì tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) ) và \(\widehat {MAB} + \widehat {MAC} = 90^\circ \) (do \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)) nên \(\widehat {MBA} = \widehat {MAC}\)

+ Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) có \(\widehat M\) chung và \(\widehat {MBA} = \widehat {MAC}\) (cmt) nên \(\Delta {\rm M}{\rm A}{\rm B}\) đồng dạng với \(\Delta MCA\left( {g - g} \right)\) suy ra \(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MB.MC\) (đpcm)

Xemloigiai.com

• Trả lời câu hỏi 1 Bài 3 trang 73 Toán 9 Tập 2
• Trả lời câu hỏi 2 Bài 3 trang 73 SGK toán 9 tập 2
• Trả lời câu hỏi Bài 3 trang 75 Toán 9 Tập 2
• Bài 15 trang 75 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 16 trang 75 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 17 trang 75 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 18 trang 75 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 19 trang 75 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 20 trang 76 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 21 trang 76 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 23 trang 76 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 24 trang 76 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 25 trang 76 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 26 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

• Lý thuyết góc nội tiếp