Bài 16 trang 143 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Giải bài tập Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB tới đường tròn (C nằm giữa M và

Đề bài

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB tới đường tròn (C nằm giữa M và B). Phân giác của góc \(\widehat {BAC}\) cắt BC tại D và cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh:

a) MA = MD

b) \(M{A^2} = MC.MB\)

c) \(N{B^2} = NA.ND\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(\widehat {ADC}\)và \(\widehat {MAN}\) cùng bằng \(\dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\). Từ đó suy ra tam giác MAD cân tại M.

b) Chứng minh tam giác MAC và tam giác MBA đồng dạng.

c) Chứng minh tam giác NBA và tam giác NDB đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {ADC}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,BN}}{2}\).

Mà \(\widehat {BAN} = \widehat {CAN}\)(AN là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)) \( \Rightarrow sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,CN}}{2}\)\(\; = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\).

Lại có \(\widehat {MAN} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\) (số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn),

\( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {MAN} \Rightarrow \Delta MAD\) cân tại M \( \Rightarrow MA = MD\).

b) Xét tam giác MAC và tam giác MBA có:

\(\widehat M\) chung;

\(\widehat {MAC} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

\( \Rightarrow \Delta MAC\) đồng dạng \(\Delta MBA\) (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \) \(\Rightarrow M{A^2} = MB.MC\).

cc) Xét tam giác NBA và tam giác NDB có:

+) \(\widehat N\) chung;

+) \(sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN\) \( \Rightarrow \widehat {NAB} = \widehat {NBD}\) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau);

\( \Rightarrow \Delta NBA \sim \Delta NDB\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{ND}} = \dfrac{{NA}}{{NB}}\) \( \Rightarrow N{B^2} = NA.ND\).

Xemloigiai.com

Tài liệu Dạy - học Toán 9

Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 9, đầy đủ công thức, lý thuyết, định lí, chuyên đề toán. Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 9, để học tốt dạy học Toán 9

CHƯƠNG I : CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA

CHƯƠNG II : HÀM SỐ BẬC NHẤT

CHƯƠNG III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

CHƯƠNG IV: HÀM SỐ BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

CHƯƠNG II : ĐƯỜNG TRÒN

CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Chủ đề 1: Các phép tính với căn bậc hai

Chủ đề 2: Biến đổi căn thức

Chủ đề 3: Căn bậc ba

Chủ đề 4 : Hàm số bậc nhất

Chủ đề 5: Đồ thị hàm số bậc nhất

Chủ đề 1: Hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Chủ đề 2 : Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Chủ đề 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Chủ đề 4: Hàm số bậc hai

Chủ đề 5: Phương trình bậc hai

Chủ đề 6: Hệ thức Vi - ét

Chủ đề 7: Bài toán bậc hai

Chủ đề 1 : Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Chủ đề 2 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chủ đề 3: Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Chủ đề 4 : Ứng dụng của tỉ số lượng giác

Chủ đề 5 : Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn.

Chủ đề 6 : Đường kính và dây của đường tròn

Chủ đề 7 : Đường thẳng và đường tròn.

Chủ đề 1: Đo góc và cung

Chủ đề 2 : Góc chắn cung

Chủ đề 3: Tứ giác nội tiếp

Chủ đề 4 : Chu vi và diện tích hình tròn

Lớp 9 | Các môn học Lớp 9 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 9 chọn lọc

Danh sách các môn học Lớp 9 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.