Lý thuyết xác suất và biến cố
1. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử \(A\) là biến cố liên quan đến phép thử \(T\) và phép thử \(T\) có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\) là xác suất của biến cố \(A\), kí hiệu là
\(P(A)\) = \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\)
Trong đó,
+) \(n(A)\) là số phần tử của tập hợp \(A\), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \(T\) thuận lợi cho biến cố \(A\);
+) \(n(Ω)\) là số phần tử của không gian mẫu \(Ω\), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \(T\).
Ví dụ:
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt xuất hiện là mặt có số chia hết cho \(3\).
Hướng dẫn:
Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6\).
Biến cố \(A:\) Mặt xuất hiện có số chia hết cho \(3\).
Khi đó \(A = \left\{ {3;6} \right\}\)
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2\).
Vậy xác suất \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
2. Các tính chất cơ bản của xác suất
2.1 Định lí
a) \(P(\phi) = 0; P(Ω) = 1\).
b) \(0 ≤ P(A) ≤ 1\), với mọi biến cố \(A\).
c) Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc với nhau, thì ta có
\(P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\) (công thức cộng xác suất).
2.2 Hệ quả
Với mọi biến cố \(A\), ta luôn luôn có: \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(1 - P(A)\).
3. Hai biến cố độc lập
Định nghĩa
Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).
Định lí
Nếu \(A, B\) là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho \(P(A) > 0\),
\(P(B) > 0\) thì ta có:
a) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:
\(P(A . B) = P(A) . P(B)\)
Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.
b) Nếu \(A\) và \(B\) độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:
\(A\) và \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) và \(B\), \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\).
Ví dụ:
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất các biến cố sau:
\(A:\) “Lần thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm”
\(B:\) “Lần thứ hai xuất hiện mặt \(4\) chấm”
Từ đó suy ra hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập.
Hướng dẫn
Không gian mẫu: \(\Omega = \left\{ {\left( {i;j} \right),i,j \in \mathbb{Z},1 \le i \le 6,1 \le j \le 6} \right\}\)
\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
Biến cố \(A:\) “Lần thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm”
\(A = \left\{ {\left( {4;1} \right),\left( {4;2} \right),\left( {4;3} \right),\left( {4;4} \right),\left( {4;5} \right),\left( {4;6} \right)} \right\}\)
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\)
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).
Biến cố \(B:\) “Lần thứ hai xuất hiện mặt \(4\) chấm”
\(B = \left\{ {\left( {1;4} \right),\left( {2;4} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;4} \right),\left( {5;4} \right),\left( {6;4} \right)} \right\}\)
\( \Rightarrow n\left( B \right) = 6\)
\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).
Gọi \(C = A.B\) là biến cố: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt \(4\) chấm”.
Khi đó \(C = \left\{ {\left( {4;4} \right)} \right\}\)
\( \Rightarrow P\left( {A.B} \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{{36}}\).
Dễ thấy \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\) nên \(A,B\) là hai biến cố độc lập.
Xemloigiai.com
- Câu hỏi 1 trang 66 SGK Đại số và Giải tích 11
- Câu hỏi 2 trang 69 SGK Đại số và Giải tích 11
- Bài 1 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11
- Bài 2 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11
- Bài 3 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11
- Bài 4 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11
- Bài 5 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11
- Bài 6 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11
- Bài 7 trang 75 SGK Đại số và Giải tích 11
SGK Toán lớp 11
Giải bài tập toán lớp 11 như là cuốn để học tốt Toán lớp 11. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích, hình học SGK Toán lớp 11, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 11 xem mục lục giai toan lop 11 sach giao khoa duoi day
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
- CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
- CHƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
- CHƯƠNG III. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
- CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
- CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
HÌNH HỌC 11
- CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
- CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
- CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
- ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 11
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
- Bài 1. Hàm số lượng giác
- Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
- Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
- Ôn tập chương I - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
CHƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
- Bài 1. Quy tắc đếm
- Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
- Bài 3. Nhị thức Niu - Tơn
- Bài 4. Phép thử và biến cố
- Bài 5. Xác suất của biến cố
- Ôn tập chương II - Tổ hợp - Xác suất
CHƯƠNG III. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
- Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
- Bài 2. Dãy số
- Bài 3. Cấp số cộng
- Bài 4. Cấp số nhân
- Ôn tập chương III - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
- Bài 1. Giới hạn của dãy số
- Bài 2. Giới hạn của hàm số
- Bài 3. Hàm số liên tục
- Ôn tập chương IV - Giới hạn
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
- Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
- Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
- Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
- Bài 4. Vi phân
- Bài 5. Đạo hàm cấp hai
- Ôn tập chương V - Đạo hàm
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
- Bài 1. Phép biến hình
- Bài 2. Phép tịnh tiến
- Bài 3. Phép đối xứng trục
- Bài 4. Phép đối xứng tâm
- Bài 5. Phép quay
- Bài 6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
- Bài 7. Phép vị tự
- Bài 8. Phép đồng dạng
- Ôn tập chương I - Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
- Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Bài 4. Hai mặt phẳng song song
- Bài 5. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
- Ôn tập chương II - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
- Bài 1. Vectơ trong không gian
- Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc
- Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc
- Bài 5. Khoảng cách
- Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
Xem Thêm
Lớp 11 | Các môn học Lớp 11 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 11 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 11 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- Soạn văn 11
- SBT Ngữ văn lớp 11
- Văn mẫu 11
- Soạn văn 11 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 11
- Soạn văn 11 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 11
- SBT Địa lí lớp 11
- SGK Địa lí lớp 11
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 11
- SBT Lịch sử lớp 11
- SGK Lịch sử lớp 11