Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học
1. Tính diện tích hình phẳng
a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\); trục hoành và hai đường thẳng \(x = a; x = b\), thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức:
\(S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx\) (1)
Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của \(f(x)\) trên đoạn \([a,b]\). Nếu \(f(x)\) không đổi dấu trên khoảng \((c;d) ⊂ [a;b]\) thì :
\(\int_c^d {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_c^d f (x)dx} \right|\)
Chẳng hạn ta có:
\(\int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} \right| \)\(+ \left| {\int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_3}}^b f (x)dx} \right|\)
b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right)\) và \(y = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng \( x = a, x = b\) thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức :
\(\int_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|} dx\) (2)
Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu \(f\left( x \right) = \;{f_1}\left( x \right){\rm{ }}\; - {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)\) trên đoạn \([a;b]\) hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng \((a;b)\), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Giải phương trình: \({f_1}\left( x \right){\rm{ }}\; - {\rm{ }}{f_2}\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\), tìm các nghiệm \({x_i}\; \in {\rm{ }}\left( {a;b} \right)\)
Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:
\[{x_{1\;}} < {\rm{ }}{x_2}\; < {\rm{ }} \ldots {\rm{ }} < {\rm{ }}{x_{n.}}\]
Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):
\(S = \int_a {^b} \left| {f(x)} \right|dx = \left| {\int_a^{{x_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} \right| + ... + \left| {\int_{{x_n}}^b f (x)dx} \right|\)
Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a, x = b\) thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi \({x_1}\), b được thay thế bởi \({x_n}\).
Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right) = {\rm{ }}0\) hoặc \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right){\rm{ = }}0\)
Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\;x{\rm{ }} = {\rm{ }}{g_1}\left( y \right),\;x{\rm{ }} = {\rm{ }}{g_2}\left( y \right)\) liên tục trên đoạn \([c;d]\) và hai đường thẳng \(y = c, y = d\) có diện tích được cho bởi công thức: $$S = \int_c^d {\left| {{g_1}(y) - {g_2}(y)} \right|} dy$$
2. Thể tích vật thể
Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = a, x = b (a<b)\). \(S(x)\) là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức: \(V = \int_a^b S (x)dx\) (với \(S(x)\) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn \([a;b]\)).
3. Thể tích khối tròn xoay
a) Hình phẳng quay quanh trục \(Ox\): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) không âm và liên tục trên đoạn \([a;b]\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) quay quanh trục \(Ox\), ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích \({V_x}\) của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_x} = \pi {\int_a^b {\left[ {f(x)} \right]} ^2}dx.$$
b) Hình phẳng quay quanh trục \(Oy\) (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\) không âm và liên tục trên đoạn \([c;d]\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = c, y = d\) quay quanh trục \(Oy\), ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_y} = \pi {\int_c^d {\left[ {g(y)} \right]} ^2}dy.$$
Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) và đồ thị hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right),{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)\) liên tục và \(0\; \le \;\;{f_1}\left( x \right)\; \le {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)\) trên đoạn \([a;b]\) quay quanh trục \(Ox\) được cho bởi công thức: $${V_x} = \pi \int_a^b {\left[ {{{({f_2}(x))}^2} - {{({f_1}(x))}^2}} \right]} dx$$
Tương tự, đổi vai trò \(x\) và \(y\) cho nhau, ta có công thức tính \({V_y}\) (khi hình phẳng quay quanh trục \(Oy\)).
Xemloigiai.com
- Trả lời câu hỏi 1 trang 114 SGK Giải tích 12
- Trả lời câu hỏi 2 trang 117 SGK Giải tích 12
- Trả lời câu hỏi 3 trang 119 SGK Giải tích 12
- Giải bài 1 trang 121 SGK Giải tích 12
- Giải bài 2 trang 121 SGK Giải tích 12
- Giải bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12
- Giải bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12
- Giải bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12
SGK Toán lớp 12
Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day
GIẢI TÍCH 12
- CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
HÌNH HỌC 12
- CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
- CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Bài 2. Cực trị của hàm số
- Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Bài 4. Đường tiệm cận
- Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- Bài 1. Lũy thừa
- Bài 2. Hàm số lũy thừa
- Bài 3. Lôgarit
- Bài 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
- Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
- Ôn tập Chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- Bài 1. Nguyên hàm
- Bài 2. Tích phân
- Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
- Ôn tập Chương III - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- Bài 1. Số phức
- Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
- Bài 3. Phép chia số phức
- Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
- Ôn tập Chương IV - Số phức
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
- Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
- Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện
- Ôn tập chương I - Khối đa diện
CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
- Bài 2. Phương trình mặt phẳng
- Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
- Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian
Xem Thêm
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 12
- SBT Địa lí lớp 12
- SGK Địa lí lớp 12
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 12
- SBT Lịch sử lớp 12
- SGK Lịch sử lớp 12