Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2019
Đề bài
Câu 1 (2 điểm):
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Câu 2 (2 điểm):
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba đường thẳng \({d_1}:\,\,y = 2x - 1;\,\,\,{d_2}:\,\,y = x;\,\,\,{d_3}:\,\,\,\,y = - 3x + 2.\)
Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \({d_3}\) đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}.\)
Câu 3 (1,5 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được \(\dfrac{2}{3}\) công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R\) và một đường thẳng \(d\) không cắt đường tròn \(\left( O \right).\) Dựng đường thẳng \(OH\) vuông góc với đường thẳng \(d\) tại điểm \(H.\) Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(K\) (khác điểm \(H\)), qua \(K\) vẽ hai tiếp tuyến \(KA,KB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm) sao cho \(A\) và \(H\) nằm về hai phía của đường thẳng \(OK.\)
a) Chứng minh tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn
b) Đường thẳng \(AB\) cắt đường thẳng \(OH\) tại điểm \(I.\) Chứng minh rằng \(IA.IB = IH.IO\) và \(I\) là điểm cố định khi điểm \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Khi \(OK = 2R,OH = R\sqrt 3 .\) Tính diện tích tam giác \(KAI\) theo \(R.\)
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x > y\\xy = 1\end{array} \right.\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\)
Lời giải
Câu 1
Phương pháp:
1. Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế, đổi dấu.
2. a) Khi \(x = 5\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(A\) để tính giá trị biểu thức.
b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Cách giải:
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2 \Leftrightarrow 3x - 3 = 5x + 2\\ \Leftrightarrow 5x - 3x = - 3 - 2 \Leftrightarrow 2x = - 5 \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{2}.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \dfrac{5}{2}.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
Điều kiện: \(x \ge 1.\)
Khi \(x = 5\,\,\left( {tm\,\,\,x \ge 1} \right),\) thay vào biểu thức ta được:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {5 + 2\sqrt {5 - 1} } + \sqrt {5 - 2\sqrt {5 - 1} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 4 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 4 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2.2} + \sqrt {5 - 2.2} = \sqrt 9 + \sqrt 1 = 3 + 1 = 4.\end{array}\)
Vậy khi \(x = 5\) thì \(A = 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Điều kiện: \(1 \le x \le 2.\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,1 \le x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1} \le 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} - 1 \le 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\end{array}\)
Câu 2
Phương pháp:
1. Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình để tìm \(m\) sau đó thay ngược \(m\) vừa tìm được vào phương trình, giải phương trình để tìm nghiệm còn lại.
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Cách giải:
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình ta được:
\({2^2} - \left( {m - 1} \right).2 - m = 0 \Leftrightarrow 4 - 2m + 2 - m = 0 \Leftrightarrow 3m = 6 \Leftrightarrow m = 2.\)
Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được: \({x^2} - x - 2 = 0\)
Ta có các hệ số: \(a = 1;b = - 1;c = - 2 \Rightarrow a - b + c = 0\) Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt là: \({x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{c}{a} = 2\)
Vậy với \(m = 2\) phương trình đã cho có một nghiệm bằng 2.
Nghiệm còn lại của phương trình là: \(x = - 1\)
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)
Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow d:\,\,\,y = - 3x + b\,,\left( {b \ne 2} \right)\)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Đường thẳng \(d:\,\,y = - 3x + b\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) nên \(d\) đi qua \(A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;\,\,\,1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:
\(1 = - 3.1 + b \Leftrightarrow b = 1 + 3 = 4\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(d:\,\,\,y = - 3x + 4.\)
Câu 3:
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3: Kết luận
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội 1 là : \(x\) (giờ) \(\left( {x > 5} \right)\)
Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ.
Nên thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là: \(x - 5\) giờ.
Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được: \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)
Trong 1 giờ đội thứ hai làm riêng được: \(\dfrac{1}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được \(\dfrac{4}{x}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ hai làm được \(\dfrac{4}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ cả hai đội làm được: \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3}\) (công việc)
Giải phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 4.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}}} \right) = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 5 + x}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 5}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow 6\left( {2x - 5} \right) = x\left( {x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow 12x - 30 = {x^2} - 5x \Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {KTM} \right)\\x = 15\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội 1 là 15 giờ, thời gian hoàn thành công việc của đội hai là \(15 - 5 = 10\) (giờ).
Câu 4
Phương pháp:
a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc để suy ra hệ thức đúng.
Chứng minh \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) đồng dạng để suy ra điểm \(I\) cố định
c) Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác.
Cách giải:
a) Vì \(KA\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(AK \bot OA \Rightarrow \angle KAO = 90^\circ \)
Lại có \(\angle OHK = 90^\circ \,\,\left( {do\,\,\,\,OH \bot d} \right)\)
Xét tứ giác \(AOKH\) có \(\angle OAK + \angle OHK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OAKH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle OBK = 90^\circ \) (do \(KB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))
Từ đó ta có \(\angle OAK = \,\angle OBK = \angle OHK = 90^\circ \) nên 5 điểm \(A;O;B;H;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OK.\)
\( \Rightarrow \angle OAB = \angle OHB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OB\))
Xét \(\Delta IOA\) và \(\Delta IBH\) có
\(\angle OIA = \angle BIH\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle OAB = \angle OHB\) (cmt)
Xét đường tròn đường kính \(OK\) có:
\(\angle OHB\) là góc nội tiếp chắn cung \(OB\)
\(\angle OBA\) là góc nội tiếp chắn cung \(OA\)
Mà \(OA = OB = R.\)
\( \Rightarrow \angle OHB = \angle OBA\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) có
\(\begin{array}{l}\angle BOH\,\,\,chung\\\angle OHB = \angle OBA\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
Mà đường thẳng \(d\) cố định nên \(OH\) không đổi (vì \(OH \bot d\)).
\( \Rightarrow OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\) không đổi hay điểm \(I\) cố định khi \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(OK\) và \(AB\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(KA,KB\) là hai tiếp tuyến nên \(KA = KB\).
Lại có \(OA = OB = R\) nên \(OK\) là đường trung trực của \(AB\), suy ra \(AB \bot OK\) tại \(M.\)
\( \Rightarrow {S_{AKI}} = \dfrac{1}{2}AI.KM.\)
Theo câu b) ta có \(OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\)\( = \dfrac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }}\)
Xét tam giác \(OAK\) vuông tại \(A,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
+) \(O{A^2} = OM.OK \Leftrightarrow OM = \dfrac{{O{A^2}}}{{OK}} = \dfrac{{{R^2}}}{{2R}} = \dfrac{R}{2}.\)
Suy ra \(KM = OK - OM = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}.\)
+) \(A{M^2} = OM.KM = \dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow AM = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)
Xét tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có:
\(MI = \sqrt {O{I^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{R}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6}\)
Suy ra \(AI = AM + MI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta KAI}} = \dfrac{1}{2}KM.AI = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\) .
Vậy \({S_{\Delta KAI}} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 5
Phương pháp :
+ Biến đổi biểu thức P về dạng tổng và tích.
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.
Cách giải :
Với \(x > y;\,\,\,\,xy = 1\) ta có :
\(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2xy}}{{x - y}} = \left( {x - y} \right) + \dfrac{2}{{x - y}}\)
Vì \(x > y\) nên \(x - y > 0;\,\dfrac{2}{{x - y}} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x - y;\,\,\,\dfrac{2}{{x - y}}\) ta có :
\(\begin{array}{l}P = x - y + \dfrac{2}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{2}{{x - y}}} = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P \ge 2\sqrt 2 \end{array}\)
Dấu \( \Leftrightarrow x - y = \dfrac{2}{{x - y}} \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x - y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = y + \sqrt 2 \)
Mà \(x.y = 1 \Leftrightarrow \left( {y + \sqrt 2 } \right).y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Khi đó : \(x = \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\sqrt 2 \) tại \(x = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2};\,\,\,\,y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}.\)
- Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2021
- Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2020
- Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2018
Đề thi vào 10 môn Toán
Dưới đây là danh sách Đề thi vào 10 môn Toán chọn lọc, có đáp án, cực sát đề chính thức theo nội dung sách giáo khoa Lớp 9.
- Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội
- Đề thi vào 10 môn Toán Thành phố Hồ Chí Minh
- Đề thi vào 10 môn Toán Đồng Nai
- Đề thi vào 10 môn Toán Đà Nẵng
- Đề thi vào 10 môn Toán Bình Dương
- Đề thi vào 10 môn Toán Bắc Ninh
- Đề thi vào 10 môn Toán Hải Dương
- Đề thi vào 10 môn Toán Nghệ An
- Đề thi vào 10 môn Toán Hải Phòng
- Đề thi vào 10 môn Toán Đắk Lắk
- Đề thi vào 10 môn Toán Lâm Đồng
- Đề thi vào 10 môn Toán Vĩnh Phúc
- Đề thi vào 10 môn Toán Thanh Hóa
- Đề thi vào 10 môn Toán Hưng Yên
- Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định
- Đề thi vào 10 môn Toán Bắc Giang
- Đề thi vào 10 môn Toán An Giang
- Đề thi vào 10 môn Toán Khánh Hòa
- Đề thi vào 10 môn Toán Cần Thơ
- Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh
- Đề thi vào 10 môn Toán Nam Định
- Đề thi vào 10 môn Toán Thái Bình
- Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ngãi
- Đề thi vào 10 môn Toán Huế
- Đề thi vào 10 môn Toán Thái Nguyên
- Đề thi vào 10 môn Toán Phú Thọ
- Đề thi vào 10 môn Toán Bình Thuận
- Đề thi vào 10 môn Toán Tiền Giang
- Đề thi vào 10 môn Toán Phú Yên
- Đề thi vào 10 môn Toán Đồng Tháp
- Tổng hợp 50 đề thi vào 10 môn Toán
Lớp 9 | Các môn học Lớp 9 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 9 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 9 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- SBT Ngữ văn lớp 9
- Đề thi vào 10 môn Văn
- Tác giả - Tác phẩm văn 9
- Văn mẫu lớp 9
- Vở bài tập Ngữ văn lớp 9
- Soạn văn 9 chi tiết
- Soạn văn 9 ngắn gọn
- Soạn văn 9 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 9
- Đề thi vào 10 môn Anh
- SGK Tiếng Anh lớp 9
- SBT Tiếng Anh lớp 9 mới
- Vở bài tập Tiếng Anh 9
- SGK Tiếng Anh lớp 9 Mới
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 9
- SBT Địa lí lớp 9
- VBT Địa lí lớp 9
- SGK Địa lí lớp 9
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 9
- SBT Lịch sử lớp 9
- VBT Lịch sử lớp 9
- SGK Lịch sử lớp 9