Bài 1.54 trang 41 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 1.54 trang 41 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tập giá trị của hàm số y=...

    Đề bài

    Tập giá trị của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\) là

    A. \(\left[{2;5}\right]\)

    B. \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\)

    C. \(\left[{\dfrac{4}{3};3+\sqrt{3}}\right]\)

    D. \(\left[{\dfrac{5}{4};4}\right]\)

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    - Tập giá trị của hàm số được giới hạn bởi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đó nên mục tiêu của bài là tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\).

    - Sử dụng hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\).

    - Đặt \(t=\sin x\) khi đó \(-1\le t\le 1\).

    - Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng \(y=ax^2+bx+c\) là thêm bớt để hàm số có chứa hằng đẳng thức, cụ thể như sau

    Hàm số \(y=ax^2+bx+c\)

    \(=a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c\)

    \(=a\left[{x^2+2.x.\dfrac{b}{2a}+{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2}\right]-\)

    \(a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

    \(=a{\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

    Do \({\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

    \(y\ge -a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=ax^2+bx+c\) là \(-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\) đạt được khi \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

    Lời giải chi tiết

    Vì \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

    Đặt \(u=\sin x\) khi đó \(-1\le u\le 1\) 

    Hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2 \)

    \(\Leftrightarrow y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

    - Tìm giá trị lớn nhất

    Ta có \(-1\le u\le 1\) nên \(u^2\le 1\) và \(u\le1\)

    Nên khi đó \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\le 1+\sqrt{3}.1+2\)

    \(=3+\sqrt{3}\)

    Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là \(3+\sqrt{3}\) tại \(u=1\)\(\Leftrightarrow \sin x=1\).

    - Tìm giá trị nhỏ nhất

    Hàm số \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

    \(=\left[{u^2+2u\dfrac{\sqrt{3}}{2}+{\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}\right]-\)

    \({\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+2\)

    \(={\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+\dfrac{5}{4}\)

    Do \({\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

    \(y\ge \dfrac{5}{4}\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{5}{4}\) đạt được khi \(u=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

    Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\).

    Cách trắc nghiệm:

    Với sinx = -1 thì y = 3 - √3 < 4/3 nên các phương án A và C bị loại.

    Với sinx = 1 thì y = 3 + √3 > 4 nên phương án D bị loại.

    Xemloigiai.com

    SBT Toán lớp 11

    Giải sách bài tập toán hình học và đại số giải tích lớp 11. Giải chi tiết tất cả câu hỏi trong các chương và bài chi tiết trong SBT hình học và đại số giải tích toán 11 cơ bản với cách giải nhanh và ngắn gọn nhất

    ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH SBT 11

    HÌNH HỌC SBT 11

    Chương 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác

    Chương 2: Tổ hợp xác suất

    Chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

    Chương 4: Giới hạn

    Chương 5: Đạo hàm

    Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

    Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

    Chương 3: Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

    Lớp 11 | Các môn học Lớp 11 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 11 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 11 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất