Giải bài 10 trang 49 SGK Hình học lớp 12

Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc.

    Đề bài

    Cho hình chóp \(S.ABC\) có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, \(SA = a, SB = b, SC = c\) và ba cạnh \(SA, SB, SC\) đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó.

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    +) Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(S=4 \pi r^2.\)

    +) Công thức tính thể tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(V=\dfrac{4}{3} \pi r^3.\)

    Lời giải chi tiết

    Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác \(S.ABC\). Hạ \(IJ\) vuông góc \((SAB)\), vì \(I\) cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\) nên \(J\) cũng cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\).

    Vì tam giác \(SAB\) vuông đỉnh \(S\) nên \(J\) là trung điểm của \(AB\).

    Ta có \(SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)

    Do \(SC\) vuông góc \((SAB)\) nên \(IJ // SC\).

    Gọi \(H\) là trung điểm \(SC\), ta có \(SC=SI\) nên \(IH \bot SC \).

    Xét tứ giác \(SHIJ\) ta có: \( \widehat {SHI}= 90 ^0\) do \(IH \bot SC \); 

    \( \widehat {HSJ}= 90 ^0\) do \(SC \bot (SAB) \) chứa \(SJ\);

    \(\widehat {IJS}\) do \(IJ \bot (SAB) \) chứa \(SJ\)

    Suy ra tứ giác \(SHIJ\) là hình chữ nhật.

    \(\rightarrow SH = IJ = {c \over 2}\).

    Do vậy, \(I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} \over 4}\) và  bán kính hình cầu ngoại tiếp \(S.ABC\) là 

    \(R = IS = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

    Diện tích mặt cầu là:

    \(S = 4\pi {R^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\)

    Thể tích khối cầu là :
    \(V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {1 \over 6}\pi {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^{{3 \over 2}}}\).
    Cách khác tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC
    Phương pháp:
    Bước 1: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB (Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB) tại tâm đường tròn)
    Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực của SC.
    Bước 3. Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là giao của trục và mặt phẳng trên
    Giải chi tiết
    Gọi \(\Delta\) là đường trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Khi đó \(\Delta\) đi qua trung điểm J của AB và vuông góc với (SAB). Ta lại có \(SC \bot \left( {SAB} \right)\). 

    \( \Rightarrow \Delta //SC\)

    Do đó mọi điểm trên \(\Delta\) cách đều S,A,B. (Theo bài 3)

    Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt \(Delta\) tại I. 

    Khi đó ta có: \(IS=IC\).

    \(I \in \Delta \Rightarrow IA=IS=IB\). Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp S.ABC

     

    Xemloigiai.com
     

    SGK Toán lớp 12

    Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day

    GIẢI TÍCH 12

    HÌNH HỌC 12

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN

    CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Xem Thêm

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất